Exercice 22

Dans chaque cas, on reconnaît la partie réelle, ou imaginaire, d'une somme d'exponentielles que l'on sait calculer.

(a) La formule du binôme, puis l'angle moitié donnent, pour tout réel $x$, $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx} = (1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i} x})^{n} = 2^{n}\cos^{n}\frac{x}{2}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} nx/2}.$$

(b) On linéarise, $\cos^{2}(kx) = \frac{1 + \cos(2kx)}{2}$, et l'on applique la proposition 15 du cours avec l'angle $2x$, lorsque $x \not\equiv 0\ [\pi]$ : $$\boxed{\sum_{k=0}^{n} \cos^{2}(kx) = \frac{n + 1}{2} + \frac{\cos(nx)\sin((n+1)x)}{2\sin x} \qquad \sum_{k=0}^{n} \sin^{2}(kx) = \frac{n + 1}{2} - \frac{\cos(nx)\sin((n+1)x)}{2\sin x}}$$ la seconde s'obtenant en retranchant la première de $n + 1$. Si $x \equiv 0\ [\pi]$, les deux sommes valent $n + 1$ et $0$.

(c) C'est la partie réelle de la somme géométrique de raison $q = -\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{2}$, qui n'est jamais égale à $1$ puisque $|q| = \frac{1}{2}$ ; aucune valeur de $x$ n'est à écarter. On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué de $1 - q = \frac{2 + \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{2}$, dont le carré du module vaut $\frac{5 + 4\cos x}{4}$ : $$\sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \frac{2\big(2 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}\big)\Big(1 + \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)x}\Big)}{5 + 4\cos x}.$$

$$\boxed{\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}\cos(kx)}{2^{k}} = \frac{2(2 + \cos x) + \dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}}\big(2\cos((n+1)x) + \cos(nx)\big)}{5 + 4\cos x}}$$ Pour $n = 0$, on trouve $\frac{4 + 2\cos x + 2\cos x + 1}{5 + 4\cos x} = 1$ ✓.

(d) C'est la partie réelle de la somme géométrique de raison $q = \cos x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$. Si $x \equiv 0\ [\pi]$, chaque terme vaut $(\pm 1)^{k}(\pm 1)^{k} = 1$, et la somme vaut $n + 1$. Sinon $|q| = |\cos x| < 1$, donc $q \neq 1$, et $$1 - q = 1 - \cos^{2} x - \mathrm{i}\sin x\cos x = -\mathrm{i}\sin x\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}, \qquad \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \frac{\mathrm{i}\big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x} - \cos^{n+1} x\;\mathrm{e}^{\mathrm{i} nx}\big)}{\sin x}.$$

Piège : la partie réelle d'un quotient n'est pas le quotient des parties réelles ; on simplifie d'abord le quotient, puis on prend la partie réelle.