Exercice 23

On applique la proposition 15 du cours avec $n - 1$ termes non nuls et l'angle $t = \frac{\pi}{n} \not\equiv 0\ [2\pi]$ ; le terme d'indice $0$ est nul. $$\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{\sin\frac{(n-1)\pi}{2n}\,\sin\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2n}} = \boxed{\frac{\cos\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}},$$ puisque $\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2n}) = \cos\frac{\pi}{2n}$. Pour $n = 2$, les deux membres valent $1$ ; pour $n = 3$, ils valent $\sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{2\pi}{3} = \sqrt{3} = \frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)}$ ✓.