Exercice 24

1. Pour $u \in \mathbb{U}$, $\frac{1}{u} = \overline{u}$. En factorisant par $uvw$, de module $1$, $$|uv + vw + wu| = |uvw|\,\Big|\frac{1}{w} + \frac{1}{u} + \frac{1}{v}\Big| = |\overline{u} + \overline{v} + \overline{w}| = \boxed{|u + v + w|}.$$

2. Avec $u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$, $v = \mathrm{e}^{\mathrm{i} y}$, $w = \mathrm{e}^{\mathrm{i} z}$, on a $u + v + w = 0$, donc $uv + vw + wu = 0$ par la question 1, et $$u^{2} + v^{2} + w^{2} = (u + v + w)^{2} - 2(uv + vw + wu) = \boxed{0}.$$ La partie réelle donne $\cos(2x) + \cos(2y) + \cos(2z) = 0$, puis, avec $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$, $$\boxed{\cos^{2} x + \cos^{2} y + \cos^{2} z = \frac{3}{2}}$$ On verra à l'exercice 51 que $u$, $v$, $w$ sont alors les sommets d'un triangle équilatéral, ce qui rend ce résultat visible.