Exercice 25

1. Un complexe est réel s'il est égal à son conjugué. Avec $\overline{z} = \frac{1}{z}$ et $\overline{z'} = \frac{1}{z'}$, $$\overline{\Big(\frac{z + z'}{1 + zz'}\Big)} = \frac{\frac{1}{z} + \frac{1}{z'}}{1 + \frac{1}{zz'}} = \frac{z' + z}{zz' + 1}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{\frac{z + z'}{1 + zz'} \in \mathbb{R}}.$$

2. On écrit $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $\theta \not\equiv 0\ [2\pi]$, et l'angle moitié donne $$\frac{1 + z}{1 - z} = \frac{2\cos\frac{\theta}{2}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}}{-2\mathrm{i}\sin\frac{\theta}{2}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}} = \mathrm{i}\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}, \qquad \boxed{\mathrm{i}\,\frac{1 + z}{1 - z} = -\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \in \mathbb{R}}.$$

3. Pour $z \neq -1$, l'équation $z = \frac{1 + \mathrm{i} a}{1 - \mathrm{i} a}$ équivaut à $z - 1 = \mathrm{i} a(z + 1)$, soit à $a = \frac{z - 1}{\mathrm{i}(z + 1)}$, ce qui prouve l'unicité. Avec $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\theta \in \,]-\pi\,,\pi[$, l'angle moitié donne $\frac{z - 1}{z + 1} = \mathrm{i}\tan\frac{\theta}{2}$. $$\boxed{a = \tan\frac{\theta}{2} \in \mathbb{R}}$$ On retrouve les formules de la proposition 8 du cours : $\frac{1 + \mathrm{i} a}{1 - \mathrm{i} a} = \frac{(1 + \mathrm{i} a)^{2}}{1 + a^{2}} = \frac{1 - a^{2}}{1 + a^{2}} + \mathrm{i}\,\frac{2a}{1 + a^{2}}$, dont les parties réelle et imaginaire sont $\cos\theta$ et $\sin\theta$ exprimés en fonction de $t = a = \tan\frac{\theta}{2}$.