Exercice 26

Pour $z \neq 0$, $z + \frac{1}{z}$ est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué : $$z + \frac{1}{z} = \overline{z} + \frac{1}{\overline{z}} \iff (z - \overline{z}) - \frac{z - \overline{z}}{z\overline{z}} = 0 \iff (z - \overline{z})\Big(1 - \frac{1}{|z|^{2}}\Big) = 0.$$ Le premier facteur est nul si et seulement si $z$ est réel, le second si et seulement si $|z| = 1$. $$\boxed{\Big\{z \in \mathbb{C}^{*} \ \Big|\ z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}\Big\} = \mathbb{U} \cup \mathbb{R}^{*}}$$ Pour $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \in \mathbb{U}$, on a d'ailleurs $z + \frac{1}{z} = 2\cos\theta$ : c'est la formule d'Euler.