Exercice 27

On calcule le module, puis l'on reconnaît un angle connu ; pour les produits et les quotients, on combine modules et arguments.

• (a) $\boxed{1 + \mathrm{i}\sqrt{3} = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}}$ (b) $\boxed{-3 = 3\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}}$ (c) $\boxed{9\mathrm{i} = 9\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}}$

• (d) $\dfrac{\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}}{\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}}$ : $\boxed{\dfrac{-\mathrm{i}\sqrt{2}}{1 + \mathrm{i}} = \mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\pi/4}}$

• (e) $\dfrac{8\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}}{(\sqrt{2})^{5}\,\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/4}} = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{9\mathrm{i}\pi/4}$ : $\boxed{\dfrac{(1 + \mathrm{i}\sqrt{3})^{3}}{(1 - \mathrm{i})^{5}} = \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}}$, c'est-à-dire $1 + \mathrm{i}$.

• (f) $\sin x + \mathrm{i}\cos x = \mathrm{i}(\cos x - \mathrm{i}\sin x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}$ : $\boxed{\sin x + \mathrm{i}\cos x = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/2 - x)}}$

Piège : en (f), on est tenté de lire « module $1$, argument $x$ » ; c'est faux, les rôles du cosinus et du sinus étant échangés.