Exercice 28

1. On passe en forme trigonométrique avant d'élever à la puissance. $$(1 + \mathrm{i})^{18} = 2^{9}\,\mathrm{e}^{18\mathrm{i}\pi/4} = 2^{9}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}, \qquad \Big(\frac{2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}}{\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}}\Big)^{20} = 2^{10}\,\mathrm{e}^{35\mathrm{i}\pi/3} = 2^{10}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3},$$

2. On a $(1 + \mathrm{i}\sqrt{3})^{n} = 2^{n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\pi/3}$, réel positif si et seulement si $\frac{n\pi}{3} \equiv 0\ [2\pi]$ ; et $(\sqrt{3} + \mathrm{i})^{n} = 2^{n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\pi/6}$, imaginaire pur si et seulement si $\frac{n\pi}{6} \equiv \frac{\pi}{2}\ [\pi]$. $$\boxed{n \equiv 0\ [6] \qquad\text{et}\qquad n \equiv 3\ [6]}$$