Exercice 29

1. On factorise par l'exponentielle de l'angle moyen. Comme $\frac{a}{2}$, $\frac{b}{2} \in \,]0\,,\frac{\pi}{2}[$ et $\frac{a - b}{2} \in \,]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}[$, les cosinus et sinus qui apparaissent sont strictement positifs, et les écritures suivantes sont bien des formes trigonométriques. $$\boxed{1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i} a} = 2\cos\frac{a}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} a/2} \qquad 1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i} a} = 2\sin\frac{a}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a - \pi)/2} \qquad \mathrm{e}^{\mathrm{i} a} + \mathrm{e}^{\mathrm{i} b} = 2\cos\frac{a - b}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a + b)/2}}$$

$$\boxed{\frac{1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}}{1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i} b}} = \frac{\cos(a/2)}{\cos(b/2)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a - b)/2}}$$ Pour la deuxième, on a écrit $-\mathrm{i} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}$.

2. Le numérateur est $1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et le dénominateur son conjugué ; comme $\cos\frac{\theta}{2} \neq 0$, $$\frac{1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{1 + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}} = \frac{2\cos\frac{\theta}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}}{2\cos\frac{\theta}{2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2}} = \boxed{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}.$$