Exercice 30

1. Les deux termes sont conjugués : $(1 + \mathrm{i}\sqrt{3})^{n} + (1 - \mathrm{i}\sqrt{3})^{n} = 2\operatorname{Re}\big(2^{n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\pi/3}\big)$. $$\boxed{(1 + \mathrm{i}\sqrt{3})^{n} + (1 - \mathrm{i}\sqrt{3})^{n} = 2^{n+1}\cos\frac{n\pi}{3} = 2^{n} \times 2\cos\frac{n\pi}{3}}$$ Le nombre $2\cos\frac{n\pi}{3}$ ne prend que les valeurs $2$, $1$, $-1$, $-2$ : c'est un entier, et le résultat est un multiple entier de $2^{n}$.

2. Le conjugué de $(2 + \mathrm{i}\sqrt{5})^{7}$ est $(2 - \mathrm{i}\sqrt{5})^{7}$, et $z + \overline{z} = 2\operatorname{Re} z$ est réel. Le développement donne d'ailleurs $4036$.

3. On calcule $\frac{19 + 7\mathrm{i}}{9 - \mathrm{i}} = \frac{(19 + 7\mathrm{i})(9 + \mathrm{i})}{82} = 2 + \mathrm{i}$ et $\frac{20 + 5\mathrm{i}}{7 + 6\mathrm{i}} = \frac{(20 + 5\mathrm{i})(7 - 6\mathrm{i})}{85} = 2 - \mathrm{i}$, qui sont conjugués. La somme vaut donc $2\operatorname{Re}\big((2 + \mathrm{i})^{n}\big)$ : $\boxed{\text{elle est réelle}}$

À retenir : pour montrer qu'un nombre est réel, on cherche à l'écrire $z + \overline{z}$, ou à vérifier qu'il est égal à son conjugué ; le calcul est presque toujours plus court que le développement.