Exercice 31

On résout le système de la proposition 20 du cours, $x^{2} - y^{2} = a$, $x^{2} + y^{2} = |w|$, $2xy = b$.

• (a) $x^{2} = y^{2} = \frac{1}{2}$ et $xy > 0$ : $\boxed{\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + \mathrm{i})}$

• (b) $|w| = 5$, $x^{2} = 4$, $y^{2} = 1$, $xy < 0$ : $\boxed{\pm(2 - \mathrm{i})}$ (c) $|w| = 10$, $x^{2} = 9$, $y^{2} = 1$, $xy < 0$ : $\boxed{\pm(3 - \mathrm{i})}$

• (d) $|w| = 26$, $x^{2} = 25$, $y^{2} = 1$, $xy < 0$ : $\boxed{\pm(5 - \mathrm{i})}$

• (e) $|w| = \sqrt{5}$, $x^{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$, $y^{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$, $xy > 0$ : $\boxed{\pm\Big(\sqrt{\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}} + \mathrm{i}\sqrt{\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}}\Big)}$

Pour $w = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$, on a $|w| = 1$ et $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$, d'où $x^{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$, $y^{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$ et $xy > 0$. Or les racines carrées de $w$ sont aussi $\pm\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/8}$, et $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/8}$ est celle dont la partie réelle est positive. $$\boxed{\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \qquad \sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$$ Le quotient vaut $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{2}} = \sqrt{2} - 1$, ce qui est la valeur de $\tan\frac{\pi}{8}$ obtenue à l'exercice 5 ✓.