Exercice 32

On calcule le discriminant, l'une de ses racines carrées, puis l'on applique le théorème 4 du cours.

• (a) $\Delta = -3 = (\mathrm{i}\sqrt{3})^{2}$ : $\boxed{z = \dfrac{-1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}}$, c'est-à-dire $j$ et $j^{2}$.

• (b) $\Delta = -4 - 4(2 - 4\mathrm{i}) = -12 + 16\mathrm{i} = \big(2(1 + 2\mathrm{i})\big)^{2}$ : $\boxed{z = 1 + 3\mathrm{i} \ \text{ ou } \ z = -1 - \mathrm{i}}$

• (c) Avec le discriminant réduit, $\Delta' = 64 - 4(11 - 12\mathrm{i}) = 20 + 48\mathrm{i} = (6 + 4\mathrm{i})^{2}$ : $z = \frac{8 \pm (6 + 4\mathrm{i})}{4}$, d'où $\boxed{z = \dfrac{7}{2} + \mathrm{i} \ \text{ ou } \ z = \dfrac{1}{2} - \mathrm{i}}$

• (d) $\Delta = (4\mathrm{i} - 3)^{2} - 4\mathrm{i}(\mathrm{i} - 5) = -3 - 4\mathrm{i} = (1 - 2\mathrm{i})^{2}$, puis $z = \frac{3 - 4\mathrm{i} \pm (1 - 2\mathrm{i})}{2\mathrm{i}}$ : $$\boxed{z = -3 - 2\mathrm{i} \ \text{ ou } \ z = -1 - \mathrm{i}}$$

• (e) On pose $Z = z^{2}$. Le discriminant de $Z^{2} - (5 - 14\mathrm{i})Z - 2(5\mathrm{i} + 12)$ vaut $-75 - 100\mathrm{i} = \big(5(1 - 2\mathrm{i})\big)^{2}$, d'où $Z = 5 - 12\mathrm{i}$ ou $Z = -2\mathrm{i}$. Les racines carrées de ces nombres sont $\pm(3 - 2\mathrm{i})$ et $\pm(1 - \mathrm{i})$. $$\boxed{z \in \{3 - 2\mathrm{i},\ -3 + 2\mathrm{i},\ 1 - \mathrm{i},\ -1 + \mathrm{i}\}}$$

• (f) Le discriminant réduit vaut $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\theta} - 2\mathrm{i}\sin\theta\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta) = 1$ : $$\boxed{z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} + 1 \ \text{ ou } \ z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - 1}$$

On contrôle par la somme et le produit : en (b), $(1 + 3\mathrm{i}) + (-1 - \mathrm{i}) = 2\mathrm{i}$ et $(1 + 3\mathrm{i})(-1 - \mathrm{i}) = 2 - 4\mathrm{i}$ ✓.