Exercice 5

1. Les formules d'addition donnent $$\boxed{\cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \qquad \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}$$

2. La formule $\cos^{2} a = \frac{1 + \cos(2a)}{2}$ donne $\cos^{2}\frac{\pi}{12} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$, et $\cos\frac{\pi}{12} > 0$. $$\boxed{\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}}$$ Les deux nombres sont positifs, et leurs carrés sont égaux, puisque $\big(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\big)^{2} = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ : ils sont donc égaux. La première méthode est préférable, car elle donne directement une forme sans radicaux emboîtés, plus facile à manipuler ; la seconde exige un contrôle de signe et laisse une expression qu'il faut ensuite simplifier.

3. La formule $\tan\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ de l'exercice 4, avec $x = \frac{\pi}{4}$, évite toute racine carrée emboîtée : $$\tan\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \boxed{\sqrt{2} - 1}.$$