Exercice 4

1. L'expression a un sens pour $\sin x \neq 0$, c'est-à-dire $x \not\equiv 0\ [\pi]$ ; alors $\cos\frac{x}{2} \neq 0$. Avec les formules de duplication en $\frac{x}{2}$, $$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^{2}\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \boxed{\tan\frac{x}{2}}.$$

2. L'égalité a un sens pour tout réel $x$. La formule $\sin(x - a) + \sin(x + a) = 2\sin x\cos a$, avec $a = \frac{2\pi}{3}$ et $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, donne $-\sin x$ pour la somme des termes extrêmes, d'où le résultat. Géométriquement, ce sont les ordonnées des sommets d'un triangle équilatéral centré en $O$, dont la somme est nulle.

3. Il faut que $\tan x$ et $\tan(2x)$ existent et soient non nuls, c'est-à-dire $x \not\equiv 0\ [\frac{\pi}{4}]$. Alors $$\frac{1}{\tan x} - \tan x = \frac{1 - \tan^{2} x}{\tan x} = \frac{2}{\dfrac{2\tan x}{1 - \tan^{2} x}} = \boxed{\frac{2}{\tan(2x)}},$$ grâce à la formule de duplication de la tangente.