Exercice 3

(a) La proposition 4 donne $5x \equiv \frac{2\pi}{3} + x\ [2\pi]$ ou $5x \equiv \pi - \frac{2\pi}{3} - x\ [2\pi]$, c'est-à-dire $4x \equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]$ ou $6x \equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi]$. $$\boxed{x \equiv \frac{\pi}{6}\ \Big[\frac{\pi}{2}\Big] \ \text{ ou } \ x \equiv \frac{\pi}{18}\ \Big[\frac{\pi}{3}\Big]}$$

(b) On a $2x \equiv x + \frac{\pi}{4}\ [2\pi]$ ou $2x \equiv -x - \frac{\pi}{4}\ [2\pi]$. $$\boxed{x \equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\frac{\pi}{12}\ \Big[\frac{2\pi}{3}\Big]}$$

(c) On écrit $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$, d'où $3x \equiv \frac{\pi}{2} - x\ [2\pi]$ ou $3x \equiv x - \frac{\pi}{2}\ [2\pi]$. $$\boxed{x \equiv \frac{\pi}{8}\ \Big[\frac{\pi}{2}\Big] \ \text{ ou } \ x \equiv -\frac{\pi}{4}\ [\pi]}$$

(d) L'équation n'a de sens que si $\cos x \neq 0$. Elle s'écrit alors $\sin x\,\big(\frac{1}{\cos x} - 2\big) = 0$, c'est-à-dire $\sin x = 0$ ou $\cos x = \frac{1}{2}$. $$\boxed{x \equiv 0\ [\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\frac{\pi}{3}\ [2\pi]}$$

Attention : on ne divise pas par $\sin x$, ce qui ferait perdre les solutions $x \equiv 0\ [\pi]$.

(e) On écrit $-\cos x = \cos(\pi - x)$, de sorte que l'équation devient $\cos(2x) = \cos(\pi - x)$, d'où $2x \equiv \pi - x\ [2\pi]$ ou $2x \equiv x - \pi\ [2\pi]$, soit $x \equiv \frac{\pi}{3}\ [\frac{2\pi}{3}]$ ou $x \equiv \pi\ [2\pi]$ ; la seconde famille est contenue dans la première, puisque $\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}$. On peut aussi factoriser $2\cos^{2} x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$. $$\boxed{x \equiv \frac{\pi}{3}\ \Big[\frac{2\pi}{3}\Big], \quad\text{soit, dans } [0\,,2\pi[ : \ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3}}$$

(f) On factorise les deux membres par $\sin\frac{3x}{2}$, à l'aide d'une formule de factorisation et de la formule de duplication : $$\cos x - \cos(2x) = 2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2} \qquad\text{et}\qquad \sin(3x) = 2\sin\frac{3x}{2}\cos\frac{3x}{2}.$$ L'équation équivaut donc à $\sin\frac{3x}{2} = 0$ ou $\sin\frac{x}{2} = \cos\frac{3x}{2} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2})$. La première condition donne $x \equiv 0\ [\frac{2\pi}{3}]$ ; la seconde donne $\frac{x}{2} \equiv \frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\ [2\pi]$ ou $\frac{x}{2} \equiv \frac{\pi}{2} + \frac{3x}{2}\ [2\pi]$, c'est-à-dire $x \equiv \frac{\pi}{4}\ [\pi]$ ou $x \equiv -\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$. $$\boxed{\text{solutions dans } [0\,,2\pi[ : \quad 0,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{3\pi}{2}}$$ On vérifie par exemple en $\frac{3\pi}{2}$ : $\cos\frac{3\pi}{2} - \cos(3\pi) = 0 + 1 = 1$ et $\sin\frac{9\pi}{2} = 1$ ✓.