Exercice 2

On lit chaque équation sur le cercle, puis l'on applique la proposition 4 du cours ; pour (c), on n'oublie pas de diviser aussi la période par $3$.

• (a) Les points d'ordonnée $\frac{1}{2}$ sont $M(\frac{\pi}{6})$ et $M(\frac{5\pi}{6})$ : $\boxed{x \equiv \frac{\pi}{6}\ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv \frac{5\pi}{6}\ [2\pi]}$

• (b) La tangente est $\pi$-périodique et $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ : $\boxed{x \equiv \frac{\pi}{3}\ [\pi]}$

• (c) $3x \equiv \frac{\pi}{2}\ [2\pi]$, soit $\boxed{x \equiv \frac{\pi}{6}\ \Big[\frac{2\pi}{3}\Big]}$, ce qui donne trois points sur le cercle, $M(\frac{\pi}{6})$, $M(\frac{5\pi}{6})$ et $M(\frac{3\pi}{2})$.

• (d) Un cosinus est compris entre $-1$ et $1$ : $\boxed{\text{aucune solution}}$

• (e) Un seul point du cercle a ces coordonnées, $M(\frac{2\pi}{3})$ : $\boxed{x \equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]}$

• (f) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ou $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, ce qui donne les quatre points $M(\pm\frac{\pi}{6})$ et $M(\pi \pm \frac{\pi}{6})$ : $\boxed{x \equiv \frac{\pi}{6}\ [\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\frac{\pi}{6}\ [\pi]}$

Piège : en (e), chacune des deux équations a deux familles de solutions, mais une seule leur est commune ; c'est le point du cercle qui a ces deux coordonnées.