Exercice 1

1. On retire à chaque angle un multiple de la période, $2\pi$ pour le cosinus et le sinus, $\pi$ pour la tangente. On a $\frac{538\pi}{3} = 178\pi + \frac{4\pi}{3}$, $\frac{123\pi}{6} = 20\pi + \frac{\pi}{2}$ et $-\frac{77\pi}{4} = -20\pi + \frac{3\pi}{4}$. $$\boxed{\cos\frac{538\pi}{3} = \cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} \qquad \sin\frac{123\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{2} = 1 \qquad \tan\Big(-\frac{77\pi}{4}\Big) = \tan\frac{3\pi}{4} = -1}$$

2. Les angles associés (proposition 1 du cours) donnent : $$\boxed{\cos(x - \pi) = \frac{4}{5} \qquad \cos(-\pi - x) = \cos(\pi + x) = \frac{4}{5} \qquad \sin\Big(x + \frac{\pi}{2}\Big) = \cos x = -\frac{4}{5}}$$ La relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ donne $\sin^{2} x = \frac{9}{25}$, donc $\sin x = \pm\frac{3}{5}$ : le cosinus seul ne détermine pas le sinus, puisque $x$ et $-x$ ont le même cosinus. Lorsque $\pi \leqslant x < 2\pi$, le point $M(x)$ est sur le demi-cercle inférieur, et $\sin x \leqslant 0$. $$\boxed{\sin x = -\frac{3}{5} \qquad\text{et}\qquad \tan x = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}}$$