Exercice 43

1. La somme $A + B$ est celle des éléments de $\mathbb{U}_{7}$ différents de $1$ : $A + B = -1$. En développant le produit et en réduisant les exposants modulo $7$ grâce à $\omega^{7} = 1$, $$AB = \omega^{4} + \omega^{6} + \omega^{7} + \omega^{5} + \omega^{7} + \omega^{8} + \omega^{7} + \omega^{9} + \omega^{10} = 3 + (\omega + \omega^{2} + \cdots + \omega^{6}) = 2.$$

2. On a $\operatorname{Im} A = \sin\frac{2\pi}{7} + \sin\frac{4\pi}{7} + \sin\frac{8\pi}{7} = \sin\frac{2\pi}{7} + \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}$, en utilisant $\sin(\pi - x) = \sin x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$. Le sinus étant strictement croissant sur $[0\,,\frac{\pi}{2}]$, $\sin\frac{3\pi}{7} > \sin\frac{\pi}{7}$, et $\sin\frac{2\pi}{7} > 0$ : $\boxed{\operatorname{Im} A > 0}$

3. Les nombres $A$ et $B$ sont les solutions de $z^{2} + z + 2 = 0$, de discriminant $-7$, et $A$ est celle de partie imaginaire positive. $$\boxed{A = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{7}}{2} \qquad B = \frac{-1 - \mathrm{i}\sqrt{7}}{2} \qquad \sin\frac{2\pi}{7} + \sin\frac{4\pi}{7} - \sin\frac{6\pi}{7} = \operatorname{Im} A = \frac{\sqrt{7}}{2}}$$ On a utilisé $\sin\frac{8\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{6\pi}{7}$. Ce calcul est un cas particulier des sommes de Gauss, qui relient les racines de l'unité à l'arithmétique.