Exercice 44

1. La formule du binôme donne $(1 + 1)^{n} = \sum \binom{n}{k}$, et $(1 + j)^{n} = \sum \binom{n}{k}j^{k}$, où $j^{k}$ vaut $1$, $j$, $j^{2}$ selon que $k \equiv 0$, $1$, $2$ modulo $3$ ; de même pour $(1 + j^{2})^{n}$, avec $j^{2k}$ qui vaut $1$, $j^{2}$, $j$. $$\boxed{S_{0} + S_{1} + S_{2} = 2^{n} \qquad S_{0} + jS_{1} + j^{2}S_{2} = (1 + j)^{n} \qquad S_{0} + j^{2}S_{1} + jS_{2} = (1 + j^{2})^{n}}$$

2. On a $1 + j = -j^{2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$ et $1 + j^{2} = -j = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}$. En ajoutant les trois relations, et grâce à $1 + j + j^{2} = 0$, il reste $3S_{0}$. En les ajoutant après avoir multiplié la deuxième par $j^{2}$ et la troisième par $j$, il reste $3S_{1}$ ; avec $j$ et $j^{2}$, il reste $3S_{2}$. $$3S_{0} = 2^{n} + \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\pi/3} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n\pi/3}, \quad 3S_{1} = 2^{n} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}(n-2)\pi/3} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(n-2)\pi/3}, \quad 3S_{2} = 2^{n} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+2)\pi/3} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(n+2)\pi/3}.$$

3. Pour $n = 4$ : $S_{0} = \binom{4}{0} + \binom{4}{3} = 5$, $S_{1} = \binom{4}{1} + \binom{4}{4} = 5$, $S_{2} = \binom{4}{2} = 6$. Les formules donnent $\frac{16 - 1}{3} = 5$, $\frac{16 - 1}{3} = 5$ et $\frac{16 + 2}{3} = 6$ ✓.

À retenir : les racines cubiques de l'unité « filtrent » les termes d'une somme selon le reste de l'indice modulo $3$ ; c'est l'idée de la transformée de Fourier discrète.