Exercice 45

1. Notons $\varphi(z) = \frac{1 + \mathrm{i} z}{1 - \mathrm{i} z}$, définie pour $z \neq -\mathrm{i}$. Pour $w \in \mathbb{C}$, l'équation $\varphi(z) = w$ équivaut à $1 + \mathrm{i} z = w - \mathrm{i} wz$, soit $\mathrm{i} z(1 + w) = w - 1$. Si $w = -1$, elle s'écrit $0 = -2$ et n'a pas de solution. Sinon, elle a l'unique solution $z = -\mathrm{i}\,\frac{w - 1}{w + 1}$, qui est différente de $-\mathrm{i}$ puisque $w - 1 \neq w + 1$. $$\boxed{\varphi \text{ est une bijection de } \mathbb{C} \setminus \{-\mathrm{i}\} \text{ sur } \mathbb{C} \setminus \{-1\}, \quad \varphi^{-1}(w) = -\mathrm{i}\,\frac{w - 1}{w + 1}}$$

2. On a $1 + \mathrm{i} z = \mathrm{i}(z - \mathrm{i})$ et $1 - \mathrm{i} z = -\mathrm{i}(z + \mathrm{i})$, donc $|\varphi(z)| = 1 \iff |z - \mathrm{i}| = |z + \mathrm{i}|$, ce qui signifie que $M(z)$ est sur la médiatrice du segment joignant $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$, c'est-à-dire sur l'axe réel. $\boxed{z \in \mathbb{R} \iff |\varphi(z)| = 1}$

3. L'équation équivaut à $\varphi(z) \in R_{A}$, où $R_{A}$ désigne l'ensemble des racines $n$-ièmes de $A$ ; ses solutions sont les $\varphi^{-1}(w)$ pour $w \in R_{A} \setminus \{-1\}$. Si $A = 0$, la seule solution est $\varphi^{-1}(0) = \mathrm{i}$, qui n'est pas réelle. Si $A \neq 0$, les éléments de $R_{A}$ ont tous pour module $|A|^{1/n}$, et, d'après la question 2, les solutions sont toutes réelles si et seulement si $|A| = 1$. Il faut enfin qu'il y ait une solution : c'est automatique pour $n \geqslant 2$, où $R_{A}$ a au moins deux éléments, et cela exige $A \neq -1$ pour $n = 1$. $$\boxed{|A| = 1, \ \text{ avec de plus } A \neq -1 \text{ si } n = 1}$$

4. Pour $A = 1$ et $n = 4$, $w \in \{1, \mathrm{i}, -\mathrm{i}\}$, la valeur $-1$ étant exclue, et $\varphi^{-1}(1) = 0$, $\varphi^{-1}(\mathrm{i}) = 1$, $\varphi^{-1}(-\mathrm{i}) = -1$. $$\boxed{z \in \{-1, 0, 1\}}$$ Ce sont les nombres $\tan\frac{k\pi}{4}$ pour $k \in \{-1, 0, 1\}$ : comme à l'exercice 25, $\varphi(\tan\alpha) = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\alpha}$, et l'équation se lit $\mathrm{e}^{8\mathrm{i}\alpha} = 1$.