Exercice 46

On applique la proposition 24 du cours : si $a = |a|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \neq 0$, les solutions de $\mathrm{e}^{z} = a$ sont les $\ln|a| + \mathrm{i}(\alpha + 2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$.

• (a) $3\sqrt{3} - 3\mathrm{i} = 6\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}$ : $\boxed{z = \ln 6 + \mathrm{i}\Big(-\dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\Big),\ k \in \mathbb{Z}}$

• (b) $\mathrm{i} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}$ : $\boxed{z = \mathrm{i}\Big(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\Big),\ k \in \mathbb{Z}}$ (c) L'exponentielle ne s'annule pas : $\boxed{\text{aucune solution}}$

• (d) On pose $w = \mathrm{e}^{z} \neq 0$ ; l'équation devient $w^{2} - w + 1 = 0$, de solutions $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\pi/3}$. $$\boxed{z = \pm\mathrm{i}\dfrac{\pi}{3} + 2\mathrm{i} k\pi,\ k \in \mathbb{Z}}$$

• (e) Avec $w = \mathrm{e}^{z}$, $w^{2} + (\mathrm{i} - 2)w - 2\mathrm{i} = (w - 2)(w + \mathrm{i}) = 0$. $$\boxed{z = \ln 2 + 2\mathrm{i} k\pi \ \text{ ou } \ z = -\mathrm{i}\dfrac{\pi}{2} + 2\mathrm{i} k\pi,\ k \in \mathbb{Z}}$$

• (f) D'après le cours, $\mathrm{e}^{z} = \mathrm{e}^{\overline{z}} \iff z - \overline{z} = 2\mathrm{i}\operatorname{Im} z \in 2\mathrm{i}\pi\mathbb{Z}$ : $\boxed{\text{l'ensemble des } z \text{ tels que } \operatorname{Im} z \in \pi\mathbb{Z}}$, réunion de droites horizontales.

Enfin, $\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}} = \mathrm{e}^{\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta} = \mathrm{e}^{\cos\theta}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sin\theta}$ : $\boxed{\text{module } \mathrm{e}^{\cos\theta}, \text{ argument } \sin\theta}$

Piège : en (d), les solutions $w$ sont de module $1$, donc $\operatorname{Re} z = \ln 1 = 0$ ; on ne doit pas oublier la famille entière $2\mathrm{i} k\pi$.