Exercice 47

1. On a $|\mathrm{e}^{z}| = \mathrm{e}^{\operatorname{Re} z}$ et $\operatorname{Re} z \leqslant |\operatorname{Re} z| \leqslant |z|$ ; l'exponentielle réelle étant croissante, $\boxed{|\mathrm{e}^{z}| \leqslant \mathrm{e}^{|z|}}$. Par stricte croissance, il y a égalité si et seulement si $\operatorname{Re} z = |z|$, c'est-à-dire si $z$ est un réel positif.

2. Les points de la droite $\operatorname{Re} z = a$ s'écrivent $a + \mathrm{i} y$, d'image $\mathrm{e}^{a}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} y}$ ; lorsque $y$ décrit $\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i} y}$ décrit tout $\mathbb{U}$. Les points de la droite $\operatorname{Im} z = b$ s'écrivent $x + \mathrm{i} b$, d'image $\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} b}$, et $\mathrm{e}^{x}$ décrit $]0\,,+\infty[$. $$\boxed{\text{la droite } \operatorname{Re} z = a \text{ a pour image le cercle } |w| = \mathrm{e}^{a}}$$

3. Tout complexe non nul $w$ s'écrit $|w|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ avec un unique $\alpha \in [0\,,2\pi[$, et $w = \mathrm{e}^{\ln|w| + \mathrm{i}\alpha}$ : l'image est $\boxed{\mathbb{C}^{*}}$. Si $\mathrm{e}^{z} = \mathrm{e}^{z'}$ avec $z$, $z'$ dans la bande, alors $z - z' = 2\mathrm{i} k\pi$ ; mais $|\operatorname{Im} z - \operatorname{Im} z'| < 2\pi$, donc $k = 0$ : $\boxed{\text{l'exponentielle est injective sur la bande}}$, qui en est un « domaine fondamental ».