Exercice 48

• (a) $M$ est équidistant des points d'affixes $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$ : $\boxed{\text{l'axe des réels}}$

• (b) $|(1 + \mathrm{i})z - 2\mathrm{i}| = |1 + \mathrm{i}|\,|z - (1 + \mathrm{i})| = \sqrt{2}\,|z - (1 + \mathrm{i})|$, puisque $\frac{2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = 1 + \mathrm{i}$ : $$\boxed{\text{le cercle de centre } 1 + \mathrm{i} \text{ et de rayon } \sqrt{2}}$$ Ce cercle passe par l'origine.

• (c) $z - 2$ est un imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive : $$\boxed{\text{la demi-droite ouverte } \{2 + \mathrm{i} y \mid y > 0\}}$$

• (d) Avec $A(2\mathrm{i})$ et $B(1 - \mathrm{i})$, la condition dit que $M \neq A, B$ et que $(MA) \perp (MB)$ : $$\boxed{\text{le cercle de diamètre } [AB] \text{ privé de } A \text{ et } B}$$ Son centre a pour affixe $\frac{1 + \mathrm{i}}{2}$, et son rayon vaut $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

• (e) Avec $z = x + \mathrm{i} y$, le produit s'écrit $(x - 2 + \mathrm{i} y)\big(x + \mathrm{i}(1 - y)\big)$, dont la partie imaginaire vaut $(x - 2)(1 - y) + xy$, soit $x + 2y - 2$ : $$\boxed{\text{la droite d'équation } x + 2y = 2}$$

• (f) $2x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ équivaut à $x \geqslant 0$ et $y^{2} = 3x^{2}$ : $\boxed{\text{les deux demi-droites } y = \pm\sqrt{3}\,x,\ x \geqslant 0}$

À gauche, les deux cercles (b) et (d), le second privé des points $A$ et $B$, marqués d'un rond vide. À droite, la demi-droite ouverte (c), la droite (e), qui passe par $2$ et par $\mathrm{i}$, et les deux demi-droites (f), qui font un angle de $\frac{\pi}{3}$ avec l'axe des réels ; l'ensemble (a) est l'axe des réels lui-même.