Exercice 49

1. On applique le théorème 5 du cours : pour $a \neq 1$, le centre a pour affixe $\frac{b}{1 - a}$.

• (a) $a = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$, de module $1$, et $1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}$ : $$\boxed{\text{rotation d'angle } \frac{\pi}{3} \text{ et de centre } \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3} = \frac{1}{2} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

• (b) $\boxed{\text{translation de vecteur d'affixe } 4 - 2\mathrm{i}}$ (c) $\boxed{\text{homothétie de rapport } 3 \text{ et de centre } -\frac{\mathrm{i}}{2}}$

• (d) $a = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3} = 2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$, et $\frac{\sqrt{3}(1 - \mathrm{i})}{-\mathrm{i}\sqrt{3}} = 1 + \mathrm{i}$ : $$\boxed{\text{similitude de centre } 1 + \mathrm{i}, \text{ de rapport } 2 \text{ et d'angle } \frac{\pi}{3}}$$

2. D'après les définitions du cours : $$\boxed{z \mapsto 2 - \mathrm{i} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}(z - 2 + \mathrm{i}) \qquad\text{et}\qquad z \mapsto 3 + 2\mathrm{i} - 2(z - 3 - 2\mathrm{i}) = -2z + 9 + 6\mathrm{i}}$$

3. La symétrie de centre $3 + \mathrm{i}$ est l'homothétie de rapport $-1$ : $s(z) = 6 + 2\mathrm{i} - z$, et $r(z) = 1 + \mathrm{i}(z - 1)$. Alors $$r\big(s(z)\big) = 1 + \mathrm{i}(5 + 2\mathrm{i} - z) = \boxed{-\mathrm{i} z - 1 + 5\mathrm{i}},$$ une rotation d'angle $-\frac{\pi}{2}$, puisque $-\mathrm{i} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}$, de centre $\frac{-1 + 5\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = \boxed{2 + 3\mathrm{i}}$. Plus directement, $s$ est la rotation d'angle $\pi$ ; la composée de deux rotations d'angles $\pi$ et $\frac{\pi}{2}$ est une rotation d'angle $\frac{3\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2}$, puisque les coefficients se multiplient ; seul le centre demande un calcul.