Exercice 50

Les points sont distincts si et seulement si $z \notin \{-1, 0, 1\}$. Pour un tel $z$, on examine l'angle droit en chacun des trois sommets, grâce à la proposition 25 du cours.

• En $z$ : $\dfrac{z^{3} - z}{z^{2} - z} = z + 1$ est imaginaire pur si et seulement si $\operatorname{Re} z = -1$.

• En $z^{2}$ : $\dfrac{z^{3} - z^{2}}{z - z^{2}} = -z$ est imaginaire pur si et seulement si $\operatorname{Re} z = 0$.

• En $z^{3}$ : $\dfrac{z - z^{3}}{z^{2} - z^{3}} = \dfrac{1 + z}{z} = 1 + \dfrac{1}{z}$ est imaginaire pur si et seulement si $\operatorname{Re}\frac{1}{z} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} = -1$, soit $x^{2} + y^{2} + x = 0$.

Dans chaque cas le quotient est non nul, donc le triangle n'est pas aplati. $$\boxed{\big(\{\operatorname{Re} z = -1\} \setminus \{-1\}\big) \ \cup \ \big(\mathrm{i}\mathbb{R} \setminus \{0\}\big) \ \cup \ \big(\mathcal{C} \setminus \{0, -1\}\big)}$$ où $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $-\frac{1}{2}$ et de rayon $\frac{1}{2}$.

Les trois ensembles sont représentés avec la couleur du sommet de l'angle droit ; les points $-1$, $0$ et $1$, où deux des trois points sont confondus, sont exclus.