Exercice 51

1. On divise $a + b + c = 0$ par $a \neq 0$ : $\frac{b}{a} + \frac{c}{a} = -1$. Les nombres $u = \frac{b}{a}$ et $v = \frac{c}{a}$ sont de module $1$ ; en conjuguant, $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = -1$, soit $\frac{u + v}{uv} = -1$, d'où $uv = 1$. Ils sont donc solutions de $$\boxed{z^{2} + z + 1 = 0}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \{u, v\} = \{j, j^{2}\}.$$

2. Ainsi $\{b, c\} = \{aj, aj^{2}\}$ : le triangle est l'image du triangle de sommets $1$, $j$, $j^{2}$ par la rotation $z \mapsto az$. Ce dernier est équilatéral, puisque ses sommets sont ceux d'un polygone régulier, et une rotation conserve les distances. $$\boxed{\text{le triangle de sommets } a, b, c \text{ est équilatéral}}$$ Géométriquement : le centre du cercle circonscrit, $O$, est aussi le centre de gravité $\frac{a + b + c}{3}$, ce qui n'arrive que pour un triangle équilatéral.