Exercice 52

1. D'après la proposition 25 du cours, $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $\frac{c - a}{b - a}$ a pour module $1$ et pour argument $\frac{\pi}{3}$, c'est-à-dire $c - a = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}(b - a)$. Or $-j^{2} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\mathrm{e}^{4\mathrm{i}\pi/3} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$. Ensuite, avec $1 + j^{2} = -j$, $$c = a(1 + j^{2}) - j^{2}b = -ja - j^{2}b \iff j^{2}c = -a - jb \iff \boxed{a + jb + j^{2}c = 0},$$ la multiplication par $j^{2}$ étant inversible.

2. Le triangle $AC'B$ est équilatéral direct, puisque $C'$ est du côté opposé à $C$ : la question 1 donne $a + jc' + j^{2}b = 0$, d'où, en multipliant par $j^{2}$, $c' = -j^{2}a - jb$. De même, avec les triangles directs $BA'C$ et $CB'A$ : $$\boxed{c' = -j^{2}a - jb \qquad a' = -j^{2}b - jc \qquad b' = -j^{2}c - ja}$$ Les centres sont les isobarycentres, par exemple $3g_{C} = a + b + c' = (1 - j^{2})a + (1 - j)b$, et de même $3g_{A} = (1 - j^{2})b + (1 - j)c$, $3g_{B} = (1 - j^{2})c + (1 - j)a$. On calcule $3(g_{A} + jg_{B} + j^{2}g_{C})$ coefficient par coefficient : $$a : \ j(1 - j) + j^{2}(1 - j^{2}) = j - j^{4} = 0, \qquad b : \ (1 - j^{2}) + j^{2}(1 - j) = 1 - j^{3} = 0,$$

$$c : \ (1 - j) + j(1 - j^{2}) = 1 - j^{3} = 0.$$ Donc $g_{A} + jg_{B} + j^{2}g_{C} = 0$, et la question 1 conclut : $\boxed{\text{le triangle } G_{A}G_{B}G_{C} \text{ est équilatéral direct}}$ Sur la figure de l'énoncé, construite avec $A(0)$, $B(4)$ et $C(1{,}2 + 2{,}6\,\mathrm{i})$, les trois côtés du triangle bleu pétrole mesurent tous $3{,}531$ à $10^{-3}$ près ✓.