Exercice 53

1. La similitude $S$ a pour écriture complexe $z \mapsto qz$ avec $q = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/6} = \frac{3}{4} + \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{4}$, donc $$\boxed{a_{n} = 6q^{n} = 6\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\pi/6}}, \qquad a_{12} = 6\Big(\frac{3}{4}\Big)^{6}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi} = \frac{2187}{2048} > 0.$$

2. On calcule le quotient de la proposition 25, au sommet $A_{n+1}$ : $$\frac{a_{n} - a_{n+1}}{0 - a_{n+1}} = \frac{1 - q}{-q} = 1 - \frac{1}{q} = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6} = 1 - \Big(1 - \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{3}}\Big) = \frac{\mathrm{i}}{\sqrt{3}},$$ qui est imaginaire pur : $\boxed{(A_{n+1}A_{n}) \perp (A_{n+1}O)}$

3. On a $|1 - q| = \big|\frac{1}{4} - \mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{4}\big| = \frac{1}{2}$, donc $A_{n}A_{n+1} = |a_{n}|\,|q - 1| = \boxed{3\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{n}}$. La longueur de la ligne brisée est une somme géométrique : $$L = \sum_{n=0}^{11} 3\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^{n} = 3\,\frac{1 - (3/4)^{6}}{1 - \sqrt{3}/2} = \frac{6 \times 3367/4096}{2 - \sqrt{3}} = \boxed{\frac{10101\,(2 + \sqrt{3})}{2048} \approx 18{,}41}$$

À retenir : une similitude de centre $O$ transforme une suite de points en suite géométrique d'affixes ; les longueurs forment alors une suite géométrique de raison le rapport.