ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 4 — Nombres complexes et trigonométrie · Exercices de synthèse

Exercice 54

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Pour tout complexe $z$ , $|z|^{2} = z^{2}$ .

2. Pour tout réel $x$ , $\cos(3x) = 4\cos^{3} x - 3\cos x$ .

3. Le nombre $(1 + \mathrm{i})^{2026}$ est imaginaire pur.

4. Pour tous complexes $z$ et $z'$ , $\operatorname{Re}(zz') = \operatorname{Re} z \times \operatorname{Re} z'$ .

5. Les racines carrées de $-2\mathrm{i}$ sont $1 - \mathrm{i}$ et $-1 + \mathrm{i}$ .

6. Pour tout complexe $z$ , $\mathrm{e}^{\overline{z}} = \overline{\mathrm{e}^{z}}$ .

7. Si le discriminant d'une équation du second degré à coefficients complexes est un réel strictement négatif, ses deux solutions sont conjuguées.

8. Pour tous réels $a$ et $b$ , $|\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} - \mathrm{e}^{\mathrm{i} b}| = 2\Big|\sin\dfrac{a - b}{2}\Big|$ .

9. L'application $z \mapsto \mathrm{i}\overline{z}$ est une similitude directe.

10. Les points d'affixes $1$ , $\mathrm{i}$ et $-1$ forment un triangle rectangle.

Corrigé

1. Fausse. Pour $z = \mathrm{i}$ , $|z|^{2} = 1$ et $z^{2} = -1$ . La bonne formule est $|z|^{2} = z\overline{z}$ .

2. Vraie. C'est la méthode de Moivre, appliquée dans le cours, section 4.4.

3. Vraie. $(1 + \mathrm{i})^{2} = 2\mathrm{i}$ , donc $(1 + \mathrm{i})^{2026} = (2\mathrm{i})^{1013} = 2^{1013}\,\mathrm{i}^{1013} = 2^{1013}\,\mathrm{i}$ , puisque $1013 \equiv 1\ [4]$ .

4. Fausse. Pour $z = z' = \mathrm{i}$ , $\operatorname{Re}(zz') = -1$ , alors que $\operatorname{Re} z \times \operatorname{Re} z' = 0$ . En général, $\operatorname{Re}(zz') = \operatorname{Re} z\,\operatorname{Re} z' - \operatorname{Im} z\,\operatorname{Im} z'.$

5. Vraie. $(1 - \mathrm{i})^{2} = 1 - 2\mathrm{i} - 1 = -2\mathrm{i}$ , et les deux racines carrées sont opposées.

6. Vraie. C'est la proposition 23 du cours : $\mathrm{e}^{\overline{z}} = \mathrm{e}^{\operatorname{Re} z}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\operatorname{Im} z} = \overline{\mathrm{e}^{\operatorname{Re} z}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\operatorname{Im} z}}$ .

7. Fausse. L'équation $z^{2} + 2\mathrm{i} z = 0$ a pour discriminant $-4$ , et pour solutions $0$ et $-2\mathrm{i}$ , qui ne sont pas conjuguées. La propriété n'est vraie que pour des coefficients réels.

8. Vraie. L'angle moitié donne $\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} - \mathrm{e}^{\mathrm{i} b} = 2\mathrm{i}\sin\frac{a - b}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a + b)/2}$ , dont on prend le module.

9. Fausse. Si l'on avait $\mathrm{i}\overline{z} = \alpha z + \beta$ pour tout $z$ , la valeur en $0$ donnerait $\beta = 0$ , la valeur en $1$ donnerait $\alpha = \mathrm{i}$ , et la valeur en $\mathrm{i}$ donnerait $1 = -1$ . Cette application change les angles orientés en leurs opposés.

10. Vraie. Au sommet $\mathrm{i}$ , $\frac{-1 - \mathrm{i}}{1 - \mathrm{i}} = -\mathrm{i}$ est imaginaire pur : le triangle est rectangle en $\mathrm{i}$ , et même isocèle.

Bilan : six affirmations vraies (2, 3, 5, 6, 8, 10) et quatre fausses (1, 4, 7, 9).

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 22 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Le nombre π et la périodicité de l'exponentielle Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré

Thèmes

trigonométrie, module, conjugué, équations du second degré, similitudes, géométrie complexe

Notions

π, module (d'un complexe)