Exercice 55

1. Comme $\overline{j^{2}} = j$ et $j + j^{2} = -1$, $j^{3} = 1$, $$|a + bj^{2}|^{2} = (a + bj^{2})(a + bj) = a^{2} + ab(j + j^{2}) + b^{2}j^{3} = \boxed{a^{2} - ab + b^{2}}.$$

2. On développe, puis l'on remplace $j^{4} = j$ par $-1 - j^{2}$ : $$(a + bj^{2})(c + dj^{2}) = ac + (ad + bc)j^{2} + bd\,j = \boxed{(ac - bd) + (ad + bc - bd)\,j^{2}}.$$

3. Si $s = |a + bj^{2}|^{2}$ et $s' = |c + dj^{2}|^{2}$ sont deux éléments de $E$, alors $ss' = |e + fj^{2}|^{2} = e^{2} - ef + f^{2}$ avec $e$, $f$ entiers : $\boxed{E \text{ est stable par produit}}$. C'est le même argument qu'à l'exercice 19, où l'on remplace $\mathrm{i}$ par $j^{2}$, et l'ensemble $\{a + b\mathrm{i}\}$ des entiers de Gauss par celui des entiers d'Eisenstein. Par exemple, $3 = 1 + 1 + 1 = 2^{2} - 2 + 1$ appartient à $E$, alors qu'il n'appartient pas à $S$.