Exercice 42

1. Le produit des $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/n}$ pour $k \in [\![0\,;n-1]\!]$ est l'exponentielle de la somme des arguments, $\frac{2\pi}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2} = (n - 1)\pi$. $$\boxed{\prod_{\omega \in \mathbb{U}_{n}} \omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(n-1)\pi} = (-1)^{n-1}}$$

2. Si $\omega^{n} = 1$, alors $(\omega^{2})^{n} = (\omega^{n})^{2} = 1$ : $Q \subset \mathbb{U}_{n}$. Considérons l'application $\omega \mapsto \omega^{2}$ de $\mathbb{U}_{n}$ dans $\mathbb{U}_{n}$, d'image $Q$. Si $\omega^{2} = \omega'^{2}$, alors $\omega' = \pm\omega$.

• Si $n$ est impair, $-\omega \notin \mathbb{U}_{n}$, puisque $(-\omega)^{n} = -1$ ; l'application est donc injective, et, $\mathbb{U}_{n}$ étant fini, elle est bijective d'après le chapitre 2 : $Q = \mathbb{U}_{n}$.

• Si $n$ est pair, $\omega$ et $-\omega$ appartiennent à $\mathbb{U}_{n}$ et ont le même carré ; l'application n'est pas injective, donc pas surjective, et $Q \neq \mathbb{U}_{n}$. Plus précisément, $Q = \{\mathrm{e}^{4\mathrm{i} k\pi/n}\} = \mathbb{U}_{n/2}$.