Exercice 41

1. La somme des éléments de $\mathbb{U}_{5}$ est nulle (proposition 21 du cours). On prend la partie réelle, et l'on utilise $\cos\frac{8\pi}{5} = \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos\frac{6\pi}{5} = \cos\frac{4\pi}{5}$, qui résultent de la parité et de la périodicité : $$\boxed{1 + 2\cos\frac{2\pi}{5} + 2\cos\frac{4\pi}{5} = 0}$$

2. Avec $c = \cos\frac{2\pi}{5}$ et $\cos\frac{4\pi}{5} = 2c^{2} - 1$, il vient $4c^{2} + 2c - 1 = 0$, dont les solutions sont $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$. Comme $0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, on a $c > 0$. $$\boxed{\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}}$$

3. $\cos\frac{\pi}{5} = -\cos\frac{4\pi}{5} = 1 - 2c^{2} = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} = \boxed{\frac{1 + \sqrt{5}}{4}}$, ce qui est la valeur de l'exercice 11 ✓. Les deux méthodes reposent sur la même idée : $\frac{\pi}{5}$ est un diviseur de $\pi$, et l'on exploite une relation algébrique entre ses multiples.