Exercice 40

En regroupant les termes, $1 + 2z + \cdots + 2z^{n-1} + z^{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} z^{k} + \sum_{k=1}^{n} z^{k} = (1 + z)\sum_{k=0}^{n-1} z^{k}$. Pour $z \neq 1$, la somme géométrique vaut $\frac{1 - z^{n}}{1 - z}$, nulle si et seulement si $z \in \mathbb{U}_{n}$ ; pour $z = 1$, elle vaut $n \neq 0$. $$\boxed{\text{les solutions sont } -1 \text{ et les éléments de } \mathbb{U}_{n} \setminus \{1\}}$$ Lorsque $n$ est pair, $-1$ appartient à $\mathbb{U}_{n}$ : c'est une racine double, et l'équation a $n - 1$ solutions distinctes ; lorsque $n$ est impair, elle en a $n$.