Exercice 39

(a) Le réel $z = 1$ n'est pas solution. Pour $z \neq 1$, l'équation s'écrit $w^{5} = 1$ avec $w = \frac{z + 1}{z - 1}$, et $w \neq 1$. Donc $w = \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/5}$ avec $k \in [\![1\,;4]\!]$, et $z = \frac{w + 1}{w - 1}$ ; l'angle moitié donne $\frac{w + 1}{w - 1} = \frac{2\cos(k\pi/5)}{2\mathrm{i}\sin(k\pi/5)}$. $$\boxed{z = -\mathrm{i}\,\frac{\cos(k\pi/5)}{\sin(k\pi/5)},\ k \in [\![1\,;4]\!]}$$ Ce sont quatre imaginaires purs : l'équation est de degré $4$, puisque les termes en $z^{5}$ se simplifient.

(b) De même, $z = \mathrm{i}$ n'est pas solution, et $w = \frac{z + \mathrm{i}}{z - \mathrm{i}}$ vérifie $w^{n} = 1$, $w \neq 1$, d'où $z = \mathrm{i}\,\frac{w + 1}{w - 1}$. Avec $w = \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/n}$, on obtient $$\boxed{z = \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = \tan\Big(\frac{\pi}{2} - \frac{k\pi}{n}\Big),\ k \in [\![1\,;n-1]\!]}$$ Toutes les solutions sont réelles, et elles sont distinctes, car la tangente est injective sur $]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}[$.

(c) On a $\big(\frac{z + 1}{z - 1}\big)^{6} = -27 = 27\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}$, donc $w = \frac{z + 1}{z - 1} = \sqrt{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$ avec $\varphi = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$, $k \in [\![0\,;5]\!]$. Alors $$z = \frac{w + 1}{w - 1} = \frac{(w + 1)(\overline{w} - 1)}{|w - 1|^{2}} = \frac{|w|^{2} - 1 - 2\mathrm{i}\operatorname{Im} w}{|w|^{2} - 2\operatorname{Re} w + 1} = \frac{1 - \mathrm{i}\sqrt{3}\sin\varphi}{2 - \sqrt{3}\cos\varphi},$$ et les six valeurs de $\varphi$ donnent $$\boxed{z \in \Big\{2 \pm \mathrm{i}\sqrt{3},\ \ \frac{1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},\ \ \frac{2 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{7}\Big\}}$$

À retenir : une équation de la forme $A^{n} = B^{n}$, ou $A^{n} = cB^{n}$, se ramène aux racines $n$-ièmes par le quotient $\frac{A}{B}$, après avoir écarté les valeurs qui annulent $B$.