Exercice 38

On met le second membre sous forme trigonométrique $r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, puis l'on applique la proposition 22 du cours : les solutions sont les $r^{1/n}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta + 2k\pi)/n}$, $k \in [\![0\,;n-1]\!]$.

• (a) $1 - \mathrm{i}\sqrt{3} = 2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}$ : $\boxed{z = 2^{1/3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-\pi/9 + 2k\pi/3)},\ k \in \{0, 1, 2\}}$

• (b) $\dfrac{-4}{2\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}} = -2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3} = 2\,\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$ : $\boxed{z = 2^{1/6}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/9 + k\pi/3)},\ k \in [\![0\,;5]\!]}$

• (c) $\dfrac{\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}}{2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}} = 2^{-1/2}\,\mathrm{e}^{5\mathrm{i}\pi/12}$ : $\boxed{z = 2^{-1/16}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(5\pi/96 + k\pi/4)},\ k \in [\![0\,;7]\!]}$

• (d) On cherche d'abord $Z = z^{2}$ tel que $Z^{2} = -7 + 24\mathrm{i}$ : $Z = \pm(3 + 4\mathrm{i})$. Les racines carrées de $3 + 4\mathrm{i}$ sont $\pm(2 + \mathrm{i})$, celles de $-3 - 4\mathrm{i}$ sont $\pm(1 - 2\mathrm{i})$. $$\boxed{z \in \{2 + \mathrm{i},\ -2 - \mathrm{i},\ 1 - 2\mathrm{i},\ -1 + 2\mathrm{i}\}}$$ On constate que $1 - 2\mathrm{i} = -\mathrm{i}(2 + \mathrm{i})$ : les quatre solutions sont les produits de $2 + \mathrm{i}$ par les éléments de $\mathbb{U}_{4}$.

Les solutions de (a) forment un triangle équilatéral, celles de (b) un hexagone régulier, inscrits dans les cercles de rayons $2^{1/3} \approx 1{,}26$ et $2^{1/6} \approx 1{,}12$ ; on passe d'une solution à la suivante par une rotation d'angle $\frac{2\pi}{n}$.