Exercice 37

1. $(2 + \mathrm{i})^{3} = 8 + 12\mathrm{i} - 6 - \mathrm{i} = 2 + 11\mathrm{i}$ ✓. La factorisation de $a^{3} - b^{3}$ donne, avec $(2 + \mathrm{i})^{2} = 3 + 4\mathrm{i}$, $$z^{3} - (2 + 11\mathrm{i}) = \big(z - (2 + \mathrm{i})\big)\big(z^{2} + (2 + \mathrm{i})z + 3 + 4\mathrm{i}\big).$$ Le discriminant du trinôme vaut $(2 + \mathrm{i})^{2} - 4(2 + \mathrm{i})^{2} = -3(2 + \mathrm{i})^{2} = \big(\mathrm{i}\sqrt{3}(2 + \mathrm{i})\big)^{2}$, d'où $z = (2 + \mathrm{i})\,\frac{-1 \pm \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$. $$\boxed{z \in \Big\{2 + \mathrm{i},\ \ -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + \mathrm{i}\Big(\sqrt{3} - \frac{1}{2}\Big),\ \ -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \mathrm{i}\Big(\sqrt{3} + \frac{1}{2}\Big)\Big\}}$$

2. Le calcul précédent montre directement que les deux autres solutions sont $(2 + \mathrm{i})j$ et $(2 + \mathrm{i})j^{2}$, où $j = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ : c'est la proposition 22 du cours, puisque les racines cubiques de $1$ sont $1$, $j$, $j^{2}$. Bombelli, qui ne connaissait que la solution $2 + \mathrm{i}$, n'en voyait qu'une sur trois.