Exercice 36

1. Le nombre $z$ est racine de $(X - z)(X - \overline{z}) = X^{2} - 2\operatorname{Re}(z)X + |z|^{2}$ : $\boxed{p = -2\operatorname{Re} z, \ q = |z|^{2}}$. Ils sont uniques : si $z^{2} + p'z + q' = 0$ avec $p'$, $q'$ réels, la différence donne $(p - p')z = q' - q$, et comme $z$ n'est pas réel, $p = p'$, puis $q = q'$.

2. On a $z_{1} + z_{2} = p$ et $z_{1}z_{2} = q^{2} \neq 0$. Posons $u = \frac{z_{1}}{z_{2}}$, qui appartient à $\mathbb{U}$ puisque $|z_{1}| = |z_{2}|$ ; alors $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \overline{u}$, et $$\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{(z_{1} + z_{2})^{2}}{z_{1}z_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}} + 2 + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \boxed{2 + u + \overline{u} = 2 + 2\operatorname{Re} u}.$$ Ce nombre est un réel positif, puisque $\operatorname{Re} u \geqslant -1$. Un complexe dont le carré est un réel positif $r$ est l'une des deux racines carrées de $r$, $\pm\sqrt{r}$, donc il est réel : $\boxed{\frac{p}{q} \in \mathbb{R}}$