Exercice 35

Pour $x$ réel, $x^{3} + (3 + \mathrm{i})x^{2} - 3x - (m + \mathrm{i}) = (x^{3} + 3x^{2} - 3x - m) + \mathrm{i}(x^{2} - 1)$. Une solution réelle vérifie donc $x^{2} = 1$, puis $m = x^{3} + 3x^{2} - 3x$ : pour $x = 1$, $m = 1$ ; pour $x = -1$, $m = 5$. $$\boxed{m = 1, \text{ solution réelle } x = 1 \qquad\text{ou}\qquad m = 5, \text{ solution réelle } x = -1}$$