Exercice 34

1. On cherche $z = \mathrm{i} y$ avec $y$ réel. En développant, $(\mathrm{i} y)^{3} + (1 + \mathrm{i})(\mathrm{i} y)^{2} + (\mathrm{i} - 1)\mathrm{i} y - \mathrm{i} = 0$ s'écrit $$(-y^{2} - y) + \mathrm{i}(-y^{3} - y^{2} - y - 1) = 0,$$ soit $y(y + 1) = 0$ et $(y + 1)(y^{2} + 1) = 0$, d'où $y = -1$ : $z = -\mathrm{i}$ est solution. La factorisation par $z + \mathrm{i}$ (proposition 19 du cours) donne $$z^{3} + (1 + \mathrm{i})z^{2} + (\mathrm{i} - 1)z - \mathrm{i} = (z + \mathrm{i})(z^{2} + z - 1).$$

2. Une solution réelle $x$ annule la partie réelle, $2x^{2} - 5x + 3 = (x - 1)(2x - 3)$, et la partie imaginaire, $4x^{3} + 6x^{2} - 4x - 21$. Seul $x = \frac{3}{2}$ convient : $4 \times \frac{27}{8} + 6 \times \frac{9}{4} - 6 - 21 = 0$. On factorise : $$4\mathrm{i} z^{3} + 2(1 + 3\mathrm{i})z^{2} - (5 + 4\mathrm{i})z + 3(1 - 7\mathrm{i}) = (2z - 3)\big(2\mathrm{i} z^{2} + (1 + 6\mathrm{i})z - 1 + 7\mathrm{i}\big),$$ et le trinôme a pour discriminant $(1 + 6\mathrm{i})^{2} - 8\mathrm{i}(-1 + 7\mathrm{i}) = 21 + 20\mathrm{i} = (5 + 2\mathrm{i})^{2}$. $$\boxed{z \in \Big\{\frac{3}{2},\ -1 - \mathrm{i},\ -2 + \frac{3}{2}\mathrm{i}\Big\}}$$

À retenir : pour trouver une racine réelle d'une équation à coefficients complexes, on annule séparément partie réelle et partie imaginaire ; les deux conditions réelles se contrôlent l'une l'autre.