Exercice 59

1. La proposition 14 du cours donne $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} - 1 = 2\mathrm{i}\sin\frac{\varphi}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi/2}$, et, comme $\frac{\varphi}{2} \in [0\,,\pi]$, le sinus est positif : $$|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} - 1| = 2\sin\frac{\varphi}{2}.$$ Sur le demi-cercle supérieur, les points d'ordonnée au moins $\frac{\sqrt{3}}{2}$ forment l'arc allant de $M(\frac{\pi}{3})$ à $M(\frac{2\pi}{3})$ ; ainsi $\sin\frac{\varphi}{2} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$ équivaut à $\frac{\varphi}{2} \in [\frac{\pi}{3}\,,\frac{2\pi}{3}]$. $$\boxed{|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} - 1| \geqslant \sqrt{3} \iff \varphi \in \Big[\frac{2\pi}{3}\,,\frac{4\pi}{3}\Big]}$$ Cet arc, tracé en ocre sur la figure ci-dessous, est celui qui joint $j$ à $j^{2}$ en passant par $-1$ ; sa longueur est $\frac{2\pi}{3}$.

La figure représente, pour $\theta = 0{,}45$, les points $z$, $z^{2}$, …, $z^{5}$ : ils avancent sur le cercle par pas d'angle $\theta$, et le premier qui atteint l'arc ocre est $z^{5}$, puisque $4\theta = 1{,}8 < \frac{2\pi}{3} \leqslant 5\theta = 2{,}25$. Les cordes en pointillé, de longueur $\sqrt{3}$, joignent $1$ aux extrémités $j$ et $j^{2}$ de l'arc.

2. Si $\theta \in [\frac{2\pi}{3}\,,\frac{4\pi}{3}]$, la question 1 donne directement $|z - 1| \geqslant \sqrt{3}$ : $\boxed{n = 1 \text{ convient}}$

3. L'ensemble $A$ des entiers $n \geqslant 1$ tels que $n\theta \geqslant \frac{2\pi}{3}$ n'est pas vide, d'après la propriété d'Archimède admise au chapitre 1 : il suffit de prendre $n \geqslant \frac{2\pi}{3\theta}$. Il possède donc un plus petit élément $n$ (proposition 4 du chapitre 1). Comme $\theta < \frac{2\pi}{3}$, l'entier $1$ n'appartient pas à $A$, donc $n \geqslant 2$, et $n - 1$, qui est un entier naturel non nul strictement plus petit que $n$, n'appartient pas à $A$ : $(n - 1)\theta < \frac{2\pi}{3}$. Par suite, $$\frac{2\pi}{3} \leqslant n\theta = (n - 1)\theta + \theta < \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.$$ Comme $z^{n} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}$ avec $n\theta \in [\frac{2\pi}{3}\,,\frac{4\pi}{3}[$, la question 1 donne $\boxed{|z^{n} - 1| \geqslant \sqrt{3}}$

Piège : il ne suffit pas de dire que les multiples de $\theta$ « finissent par dépasser » $\frac{2\pi}{3}$ ; il faut s'assurer qu'ils ne sautent pas par-dessus l'arc, ce que garantit le choix du plus petit entier $n$, puisque le pas $\theta$ est plus court que l'arc.

4. On a $\overline{z} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(2\pi - \theta)}$, avec $2\pi - \theta \in \,]0\,,\frac{2\pi}{3}[$. La question 3 fournit un entier $n \geqslant 1$ tel que $|\overline{z}^{\,n} - 1| \geqslant \sqrt{3}$. Or $\overline{z}^{\,n} - 1$ est le conjugué de $z^{n} - 1$, qui a donc le même module : $\boxed{|z^{n} - 1| \geqslant \sqrt{3}}$

Les intervalles $]0\,,\frac{2\pi}{3}[$, $[\frac{2\pi}{3}\,,\frac{4\pi}{3}]$ et $]\frac{4\pi}{3}\,,2\pi[$ recouvrent $]0\,,2\pi[$ : $$\boxed{\text{pour tout } z \in \mathbb{U} \setminus \{1\}, \text{ il existe } n \geqslant 1 \text{ tel que } |z^{n} - 1| \geqslant \sqrt{3}}$$

5. Pour $z = j$, les puissances $j^{n}$ valent $1$, $j$ ou $j^{2}$, et la question 1 donne $|j - 1| = |j^{2} - 1| = \sqrt{3}$. Ainsi $|j^{n} - 1|$ ne prend que les valeurs $0$ et $\sqrt{3}$ : pour tout réel $c > \sqrt{3}$, aucun entier $n$ ne vérifie $|j^{n} - 1| \geqslant c$. $\boxed{\text{la constante } \sqrt{3} \text{ est optimale}}$

Les puissances de $j$ parcourent les sommets d'un triangle équilatéral, et c'est ce cas extrémal qui fixe la constante.

À retenir : l'argument de la question 3 est une version discrète du théorème des valeurs intermédiaires du chapitre 8 : une suite qui croît par pas plus courts qu'un intervalle ne peut pas franchir cet intervalle sans y entrer.