Exercice 58

1. D'après la proposition 21 du cours, $\mathbb{U}_{n}$ a $n$ éléments, et le théorème 1 du chapitre 3 donne le nombre de ses parties à trois éléments. $$\boxed{\binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \text{ triangles}}$$

2. La proposition 14 du cours, $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p} - \mathrm{e}^{\mathrm{i} q} = 2\mathrm{i}\sin\frac{p - q}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(p + q)/2}$, appliquée au numérateur et au dénominateur, donne $$\frac{a - c}{b - c} = \frac{2\mathrm{i}\sin\frac{\alpha - \gamma}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \gamma)/2}}{2\mathrm{i}\sin\frac{\beta - \gamma}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\beta + \gamma)/2}} = \boxed{\frac{\sin\frac{\alpha - \gamma}{2}}{\sin\frac{\beta - \gamma}{2}}\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha - \beta)/2}}.$$ Le dénominateur est non nul : comme $b \neq c$, on a $\beta - \gamma \not\equiv 0\ [2\pi]$, donc $\frac{\beta - \gamma}{2} \not\equiv 0\ [\pi]$. De même, le numérateur est non nul puisque $a \neq c$. Le quotient s'écrit donc $\rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha - \beta)/2}$ avec $\rho$ réel non nul, et la proposition 25 du cours permet de conclure.

• Le quotient est réel si et seulement si $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha - \beta)/2} = \pm 1$, c'est-à-dire $\alpha \equiv \beta\ [2\pi]$, soit $a = b$, ce qui est exclu : $\boxed{\text{les trois points ne sont pas alignés}}$

• Le quotient est imaginaire pur si et seulement si $\frac{\alpha - \beta}{2} \equiv \frac{\pi}{2}\ [\pi]$, c'est-à-dire $\alpha \equiv \beta + \pi\ [2\pi]$, soit $a = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}b = -b$ : $$\boxed{\text{le triangle est rectangle en } c \iff b = -a}$$

On retrouve un théorème de géométrie classique : un triangle inscrit dans un cercle est rectangle si et seulement si l'un de ses côtés est un diamètre, et l'angle droit est alors au sommet opposé à ce diamètre.

3. Si $n$ est impair, $-a \notin \mathbb{U}_{n}$ pour tout $a \in \mathbb{U}_{n}$, puisque $(-a)^{n} = -a^{n} = -1$ : d'après la question 2, $\boxed{\mathbb{U}_{n} \text{ n'a aucun triangle rectangle si } n \text{ est impair}}$

Si $n$ est pair, $-a$ appartient à $\mathbb{U}_{n}$ dès que $a$ y appartient, et $-a \neq a$ ; les éléments de $\mathbb{U}_{n}$ se répartissent donc en $\frac{n}{2}$ paires $\{a, -a\}$, les diamètres. Un triangle rectangle n'a qu'un angle droit : s'il était rectangle en $c$ et en $a$, on aurait $b = -a$ et $b = -c$, donc $a = c$. On peut donc associer à chaque triangle rectangle son hypoténuse, qui est un diamètre. Pour un diamètre $\{a, -a\}$ fixé, les triangles rectangles d'hypoténuse $\{a, -a\}$ sont, d'après la question 2, les $\{a, -a, c\}$ avec $c \in \mathbb{U}_{n} \setminus \{a, -a\}$ : il y en a $n - 2$. Le lemme des bergers (lemme 5 du chapitre 2) conclut. $$\boxed{\mathbb{U}_{n} \text{ a } \frac{n}{2}\,(n - 2) = \frac{n(n-2)}{2} \text{ triangles rectangles si } n \text{ est pair}}$$

4. La proportion cherchée vaut $$\frac{n(n-2)/2}{n(n-1)(n-2)/6} = \boxed{\frac{3}{n - 1}}.$$ Pour $n = 4$, elle vaut $1$ : les quatre triangles du carré sont rectangles, chacun étant la moitié du carré coupé par une diagonale. Pour $n = 6$, elle vaut $\frac{3}{5}$ : $12$ triangles rectangles sur $20$. Les $8$ autres sont les $2$ triangles équilatéraux et les $6$ triangles formés de trois sommets consécutifs ✓.

Sur chaque figure, le diamètre en bleu pétrole est l'hypoténuse des triangles rectangles représentés ; dans l'hexagone, chacun des trois diamètres porte quatre triangles rectangles, ce qui redonne $3 \times 4 = 12$.

À retenir : la proportion $\frac{3}{n - 1}$ tend vers $0$ lorsque $n$ grandit : parmi les triangles inscrits dans un polygone régulier à beaucoup de côtés, les triangles rectangles sont rares. Le chapitre 21 donnera à une telle proportion le sens d'une probabilité.