Exercice 60

1. Un complexe de module $1$ s'écrit $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $\theta \in \,]-\pi\,,\pi]$, et sa partie réelle $\cos\theta$ est positive si et seulement si $\theta \in [-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$. On numérote ensuite les $z_{k}$ par arguments croissants.

2. C'est la proposition 14 du cours : $\mathrm{e}^{\mathrm{i} p} + \mathrm{e}^{\mathrm{i} q} = 2\cos\frac{p - q}{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(p + q)/2}$, avec $p = \theta_{2n+1}$, $q = \theta_{1}$. Notons que $\frac{\theta_{2n+1} - \theta_{1}}{2} \in [0\,,\frac{\pi}{2}]$, donc ce cosinus est positif.

3. Pour $k \in [\![2\,;2n]\!]$, $\theta_{1} \leqslant \theta_{k} \leqslant \theta_{2n+1}$, donc $|\theta_{k} - \varphi| \leqslant \frac{\theta_{2n+1} - \theta_{1}}{2} \leqslant \frac{\pi}{2}$, et $\operatorname{Re}(z_{k}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}) = \cos(\theta_{k} - \varphi) \geqslant 0$. En sommant, $\operatorname{Re}(S'\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}) \geqslant 0$. Alors, avec $s = z_{1} + z_{2n+1} = \rho\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$, $\rho \geqslant 0$, $$|S' + s|^{2} = |S'|^{2} + |s|^{2} + 2\rho\,\operatorname{Re}\big(S'\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}\big) \geqslant |S'|^{2}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{|S' + z_{1} + z_{2n+1}| \geqslant |S'|}.$$

4. Pour $n = 0$, $|z_{1}| = 1$. Si le résultat est vrai pour $2n - 1$ termes, il s'applique à $S'$, qui en compte $2n - 1 = 2(n - 1) + 1$, de parties réelles positives : $|S'| \geqslant 1$, puis $\big|\sum z_{k}\big| \geqslant |S'| \geqslant 1$. $\boxed{\Big|\sum_{k=1}^{2n+1} z_{k}\Big| \geqslant 1}$

L'hypothèse sur la parité est indispensable : avec deux termes, $\mathrm{i} + (-\mathrm{i}) = 0$.