Exercice 61

1. L'exercice 16 donne $|z_{k}| \leqslant |\operatorname{Re} z_{k}| + |\operatorname{Im} z_{k}|$. On somme, en remarquant que $\sum |\operatorname{Re} z_{k}| = P_{+} + P_{-}$ et que $\sum |\operatorname{Im} z_{k}| = Q_{+} + Q_{-}$ : $$\boxed{P_{+} + P_{-} + Q_{+} + Q_{-} \geqslant \sum |z_{k}|}$$

2. Le plus grand des quatre nombres est au moins le quart de leur somme. Si c'est $P_{+}$, alors, avec $I = \{k \mid \operatorname{Re} z_{k} > 0\}$, $$\Big|\sum_{k \in I} z_{k}\Big| \geqslant \operatorname{Re}\Big(\sum_{k \in I} z_{k}\Big) = P_{+} \geqslant \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n} |z_{k}|.$$ Dans les trois autres cas, on prend de même les indices de partie réelle négative, ou de partie imaginaire positive, ou négative, en minorant le module par $-\operatorname{Re}$, $\operatorname{Im}$ ou $-\operatorname{Im}$. $\boxed{\text{une telle partie } I \text{ existe}}$

3. Avec $z_{1} = 1$ et $z_{2} = -1$, les sommes partielles valent $0$, $1$ ou $-1$, de module au plus $1$, alors que $\sum |z_{k}| = 2$ : la constante $1$ est impossible, et même toute constante supérieure à $\frac{1}{2}$.

L'exercice 64 montre que la meilleure constante possible est $\frac{1}{\pi} \approx 0{,}318$ ; la constante $\frac{1}{4}$ obtenue ici n'en est pas loin, pour un raisonnement beaucoup plus simple.