Exercice 62

1. L'identité du parallélogramme (exercice 16) donne $$|a + b|^{2} + |a - b|^{2} = 2\big(|a|^{2} + |b|^{2}\big) \leqslant 4M^{2}.$$ Si les deux réels $|a + b|$ et $|a - b|$ étaient strictement supérieurs à $\sqrt{2}\,M$, la somme de leurs carrés serait strictement supérieure à $4M^{2}$. $\boxed{\min\big(|a + b|, |a - b|\big) \leqslant \sqrt{2}\,M}$

Pour $n = 1$, on prend $\varepsilon_{1} = 1$, puisque $|z_{1}| \leqslant M \leqslant \sqrt{2}\,M$. Pour $n = 2$, on prend $\varepsilon_{1} = 1$ et l'on choisit $\varepsilon_{2}$ de sorte que $|z_{1} + \varepsilon_{2}z_{2}|$ soit le plus petit des deux modules.

2. On développe le carré du module comme dans la démonstration du théorème 3 du cours : $$|a - b|^{2} = |a|^{2} + |b|^{2} - 2\operatorname{Re}(a\overline{b}) \leqslant |a|^{2} + |b|^{2} - |a|\,|b|.$$ Notons $x$ le plus grand des deux réels $|a|$ et $|b|$, et $y$ le plus petit. Comme $y \geqslant 0$ et $x - y \geqslant 0$, $$x^{2} + y^{2} - xy = x^{2} - y(x - y) \leqslant x^{2} \leqslant M^{2}, \qquad\text{donc}\qquad \boxed{|a - b| \leqslant M}.$$ Si $a$ et $b$ sont non nuls, on écrit $a = |a|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$ et $b = |b|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}$ ; alors $\operatorname{Re}(a\overline{b}) = |a|\,|b|\cos(\alpha - \beta)$, et l'hypothèse s'écrit $\cos(\alpha - \beta) \geqslant \frac{1}{2}$ : les vecteurs d'affixes $a$ et $b$ font un angle géométrique d'au plus $\frac{\pi}{3}$. Dans le triangle de sommets $0$, $a$ et $b$, le côté opposé à cet angle est alors au plus égal au plus long des deux autres.

3. Pour chaque $m$, on choisit un argument $\varphi$ de $a_{m}$ dans $[0\,,2\pi[$. Si $\varphi < \pi$, on pose $\sigma_{m} = 1$ et $\theta_{m} = \varphi$ ; sinon, on pose $\sigma_{m} = -1$ et $\theta_{m} = \varphi - \pi$, de sorte que $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = -\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{m}}$. Dans les deux cas, $$a_{m} = \sigma_{m}\,|a_{m}|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{m}}, \qquad \sigma_{m} \in \{-1, 1\}, \qquad \theta_{m} \in [0\,,\pi[.$$ Quitte à renuméroter, on suppose $\theta_{1} \leqslant \theta_{2} \leqslant \theta_{3}$. Les trois réels $d_{1} = \theta_{2} - \theta_{1}$, $d_{2} = \theta_{3} - \theta_{2}$ et $d_{3} = \pi - (\theta_{3} - \theta_{1})$ sont positifs, car $\theta_{3} - \theta_{1} < \pi$, et leur somme vaut $\pi$ : l'un d'eux est au plus égal à $\frac{\pi}{3}$. On utilise ensuite $\operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,\overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta'}}\big) = \cos(\theta - \theta')$ et la décroissance du cosinus sur $[0\,,\pi]$, qui donne $\cos d \geqslant \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ pour $d \in [0\,,\frac{\pi}{3}]$.

• Si $d_{1} \leqslant \frac{\pi}{3}$, on prend $k = 1$, $\ell = 2$ et $\eta = \sigma_{1}\sigma_{2}$ : $\eta\,\operatorname{Re}(a_{1}\overline{a_{2}}) = \sigma_{1}^{2}\sigma_{2}^{2}\,|a_{1}|\,|a_{2}|\cos d_{1} \geqslant \frac{1}{2}|a_{1}|\,|a_{2}|$.

• Si $d_{2} \leqslant \frac{\pi}{3}$, on procède de même avec $k = 2$, $\ell = 3$ et $\eta = \sigma_{2}\sigma_{3}$.

• Si $d_{3} \leqslant \frac{\pi}{3}$, on prend $k = 1$, $\ell = 3$ et $\eta = -\sigma_{1}\sigma_{3}$ : $$\eta\,\operatorname{Re}(a_{1}\overline{a_{3}}) = -|a_{1}|\,|a_{3}|\cos(\theta_{3} - \theta_{1}) = |a_{1}|\,|a_{3}|\cos d_{3} \geqslant \frac{1}{2}|a_{1}|\,|a_{3}|.$$

$$\boxed{\text{il existe } k \neq \ell \text{ et } \eta \in \{-1, 1\} \text{ tels que } \eta\,\operatorname{Re}\big(a_{k}\overline{a_{\ell}}\big) \geqslant \frac{1}{2}|a_{k}|\,|a_{\ell}|}$$ Géométriquement, les trois droites portant les vecteurs $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ découpent le demi-tour en trois angles de somme $\pi$ ; l'un d'eux mesure au plus $\frac{\pi}{3}$, et le signe $\eta$ choisit le bon sens sur l'une des deux droites.

4. On fixe $M$ et l'on démontre par récurrence sur $n \geqslant 1$ l'assertion $P(n)$ : « pour tous complexes $z_{1}, \dots, z_{n}$ de modules au plus $M$, il existe des signes $\varepsilon_{k}$ tels que $\big|\sum \varepsilon_{k}z_{k}\big| \leqslant \sqrt{2}\,M$ ». La question 1 établit $P(1)$ et $P(2)$. Soit $n \geqslant 3$ tel que $P(n - 1)$ soit vraie, et $z_{1}, \dots, z_{n}$ de modules au plus $M$.

• Si l'un des $z_{k}$ est nul, par exemple $z_{n}$, on applique $P(n - 1)$ à $z_{1}, \dots, z_{n-1}$ et l'on prend $\varepsilon_{n} = 1$ : la somme n'est pas modifiée.

• Sinon, la question 3, appliquée à $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, fournit $k \neq \ell$ et $\eta$. Les complexes $a = z_{k}$ et $b = \eta z_{\ell}$ sont de modules au plus $M$ et vérifient $\operatorname{Re}(a\overline{b}) = \eta\,\operatorname{Re}(z_{k}\overline{z_{\ell}}) \geqslant \frac{1}{2}|a|\,|b|$ ; d'après la question 2, $w = z_{k} - \eta z_{\ell}$ vérifie $|w| \leqslant M$. On applique $P(n - 1)$ à la famille obtenue en remplaçant $z_{k}$ et $z_{\ell}$ par le seul complexe $w$ ; si $\delta$ est le signe obtenu pour $w$, on pose $\varepsilon_{k} = \delta$ et $\varepsilon_{\ell} = -\delta\eta$, de sorte que $\varepsilon_{k}z_{k} + \varepsilon_{\ell}z_{\ell} = \delta w$. La somme est la même que pour la famille réduite.

$$\boxed{\text{il existe } \varepsilon_{1}, \dots, \varepsilon_{n} \in \{-1, 1\} \text{ tels que } \Big|\sum_{k=1}^{n} \varepsilon_{k}z_{k}\Big| \leqslant \sqrt{2}\,M}$$ La démonstration est un algorithme : tant qu'il reste au moins trois vecteurs non nuls, on en fusionne deux qui font, au signe près, un angle d'au plus $\frac{\pi}{3}$, en les remplaçant par leur différence, qui reste de module au plus $M$ ; après au plus $n - 2$ fusions, il reste deux vecteurs, que l'on combine avec le meilleur signe. Par exemple, pour $z_{1} = 1$, $z_{2} = \mathrm{i}$, $z_{3} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$ et $M = 1$, on fusionne $z_{1}$ et $z_{3}$, qui font un angle de $\frac{\pi}{4}$, en $w = 1 - \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}$, de module $2\sin\frac{\pi}{8} \approx 0{,}77$ ; puis $|w + \mathrm{i}| = \big(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\big)|1 + \mathrm{i}| = \sqrt{2} - 1$ et $|w - \mathrm{i}| = \sqrt{3}$, d'où le choix $$|z_{1} + z_{2} - z_{3}| = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}41 \leqslant \sqrt{2} \ \checkmark.$$

5. Pour $z_{1} = 1$, $z_{2} = \mathrm{i}$ et $M = 1$, les quatre sommes $\pm 1 \pm \mathrm{i}$ ont toutes pour module $\sqrt{2}$. Une constante $c < \sqrt{2}$ ne convient donc pas. $\boxed{\text{la constante } \sqrt{2} \text{ est optimale}}$

À retenir : la majoration ne dépend pas de $n$, alors que la somme sans signes peut atteindre $nM$. À l'inverse, on cherchait aux exercices 61 et 64 une partie dont la somme est grande ; ces deux questions, rendre une somme petite ou grande par un bon choix de termes, se retrouvent dans de nombreux problèmes d'équilibrage, en dimension quelconque.