Exercice 63

1. Pour $t \in \mathbb{Q}$, le complexe $\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} + \mathrm{i}\,\frac{2t}{1 + t^{2}} = \frac{1 + \mathrm{i} t}{1 - \mathrm{i} t}$ est de module $1$, et ses parties réelle et imaginaire sont rationnelles. D'après l'exercice 45, l'application $t \mapsto \frac{1 + \mathrm{i} t}{1 - \mathrm{i} t}$ est injective ; comme $\mathbb{Q}$ est infini, $\boxed{G \text{ est infini}}$. Avec $t = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{5}$ : $$\boxed{\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\mathrm{i},\quad \frac{4}{5} + \frac{3}{5}\mathrm{i},\quad \frac{15}{17} + \frac{8}{17}\mathrm{i},\quad \frac{12}{13} + \frac{5}{13}\mathrm{i}}$$

2. Si $z = a + \mathrm{i} b$ et $z' = c + \mathrm{i} d$ sont dans $G$, alors $zz' = (ac - bd) + \mathrm{i}(ad + bc)$ a des parties rationnelles et un module égal à $1$. L'application $z \mapsto z^{2}$ de $G$ dans $G$ a des fibres d'au plus deux éléments, puisque $z^{2} = z'^{2}$ implique $z' = \pm z$ ; si son image était finie, de cardinal $m$, $G$ aurait au plus $2m$ éléments, d'après le lemme des bergers du chapitre 2. $\boxed{\{z^{2} \mid z \in G\} \text{ est infini}}$

3. L'angle moitié, comme à l'exercice 54, donne $|\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\alpha} - \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\beta}| = 2|\sin(\alpha - \beta)|$, et $$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \in \mathbb{Q},$$ puisque les quatre nombres $\cos\alpha$, $\sin\alpha$, $\cos\beta$, $\sin\beta$ sont rationnels. $\boxed{|u^{2} - v^{2}| \in \mathbb{Q}}$

4. On choisit $n$ éléments distincts $w_{1} = u_{1}^{2}, \dots, w_{n} = u_{n}^{2}$ de $\{z^{2} \mid z \in G\}$, ce qui est possible d'après la question 2. Leurs distances mutuelles $|w_{k} - w_{\ell}|$ sont des rationnels, d'après la question 3 ; soit $D$ un dénominateur commun à ces $\frac{n(n-1)}{2}$ rationnels. Les points d'affixes $Dw_{1}, \dots, Dw_{n}$ ont alors des distances mutuelles entières. Ils sont situés sur le cercle de centre $O$ et de rayon $D$, et trois points distincts d'un cercle ne sont jamais alignés, car une droite coupe un cercle en au plus deux points. $$\boxed{\text{pour tout } n \geqslant 3, \text{ il existe } n \text{ points non alignés à distances mutuelles entières}}$$ Par exemple, avec $t = \frac{1}{2}$ et $t = \frac{1}{3}$, les carrés $\big(\frac{3 + 4\mathrm{i}}{5}\big)^{2} = \frac{-7 + 24\mathrm{i}}{25}$ et $\big(\frac{4 + 3\mathrm{i}}{5}\big)^{2} = \frac{7 + 24\mathrm{i}}{25}$ sont à distance $\frac{14}{25}$ ; avec $1 = 1^{2}$, les trois distances valent $\frac{14}{25}$, $\frac{6}{5}$ et $\frac{8}{5}$, et le facteur $D = 25$ donne un triangle de côtés $14$, $30$ et $40$. Un théorème d'Erdős affirme qu'une telle famille ne peut pas être infinie si les points ne sont pas alignés : la construction de l'exercice ne fonctionne que pour un nombre fini de points.