Exercice 64

1. (a) Les $\theta_{m}$ sont espacés de $\frac{\pi}{p}$, et l'intervalle proposé, de longueur $\frac{\pi}{p}$, contient donc exactement un $\theta_{r}$. Pour $k \in [\![0\,;2p-1]\!]$, on a $\theta_{r+k} = \theta_{r} + \frac{k\pi}{p}$.

• Si $k \in [\![0\,;p-1]\!]$, alors $\theta_{r+k} \in [\alpha - \frac{\pi}{2}\,,\alpha + \frac{\pi}{2}[$, donc $\alpha - \theta_{r+k} \in \,]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}]$ et $\boxed{\cos(\alpha - \theta_{r+k}) \geqslant 0}$

• Si $k \in [\![p\,;2p-1]\!]$, alors $\alpha - \theta_{r+k} \in \,]-\frac{3\pi}{2}\,,-\frac{\pi}{2}]$ et $\boxed{\cos(\alpha - \theta_{r+k}) \leqslant 0}$

(b) Les indices $r, \dots, r + N - 1$ décrivent tous les restes modulo $N$, et $\theta_{m + N} = \theta_{m} + 2\pi$ : la somme ne change pas si l'on fait varier $m$ de $r$ à $r + N - 1$. D'après (a), seuls les $p$ premiers termes sont non nuls, et la somme géométrique, avec $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} p\pi/p} = -1$, puis l'angle moitié $1 - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/p} = 2\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{N}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/N}$, donne $$\sum_{k=0}^{p-1} \cos\Big(\alpha - \theta_{r} - \frac{k\pi}{p}\Big) = \operatorname{Re}\Big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha - \theta_{r})}\,\frac{1 - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi}}{1 - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/p}}\Big) = \operatorname{Re}\Big(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}}{\mathrm{i}\sin(\pi/N)}\Big).$$

$$\boxed{\sum_{m=0}^{N-1} \cos^{+}(\alpha - \theta_{m}) = \frac{\sin\psi}{\sin(\pi/N)}}$$ Le choix de $r$ donne $\alpha - \theta_{r} \in \,]\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{N}\,,\frac{\pi}{2}]$, donc $\psi \in \,]\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{N}\,,\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{N}]$, et $\cos\frac{\pi}{N} \leqslant \sin\psi \leqslant 1$, d'où l'encadrement annoncé.

2. (a) Comme à la question 2 de l'exercice 61, on minore le module par la partie réelle après rotation : $$\Big|\sum_{k \in I_{m}} z_{k}\Big| \geqslant \operatorname{Re}\Big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_{m}}\sum_{k \in I_{m}} z_{k}\Big) = \sum_{k=1}^{n} |z_{k}|\cos^{+}(\alpha_{k} - \theta_{m}),$$ les termes d'indice hors de $I_{m}$ ayant un $\cos^{+}$ nul. En sommant sur $m$, en intervertissant les deux sommes, puis en appliquant la question 1 à chaque $\alpha_{k}$, $$\sum_{m=0}^{N-1} \Big|\sum_{k \in I_{m}} z_{k}\Big| \geqslant \sum_{k=1}^{n} |z_{k}|\sum_{m=0}^{N-1} \cos^{+}(\alpha_{k} - \theta_{m}) \geqslant \frac{\cos(\pi/N)}{\sin(\pi/N)}\,S.$$ L'un des $N$ termes de la somme de gauche est au moins égal à leur moyenne : $$\boxed{\Big|\sum_{k \in I_{m}} z_{k}\Big| \geqslant c_{N}S \ \text{ pour un } m}$$

(b) On écrit $c_{N} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi/N}{\sin(\pi/N)}\cdot\cos\frac{\pi}{N}$ ; la proposition 6 du cours donne $\frac{\sin x}{x} \to 1$ et $\cos x \to 1$ quand $x \to 0$, d'où $\boxed{c_{N} \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{1}{\pi}}$

Pour chaque $N$ pair, la question précédente fournit une partie $J_{N}$ de $[\![1\,;n]\!]$ telle que $\big|\sum_{k \in J_{N}} z_{k}\big| \geqslant c_{N}S$. Ces parties sont en nombre fini, $2^{n}$ au plus, alors que les $N$ pairs sont en nombre infini : l'une d'elles, $I$, est égale à $J_{N}$ pour une infinité de valeurs de $N$. Si l'on avait $\big|\sum_{k \in I} z_{k}\big| < \frac{S}{\pi}$, on aurait aussi $\big|\sum_{k \in I} z_{k}\big| < c_{N}S$ pour tout $N$ assez grand, puisque $c_{N}S$ tend vers $\frac{S}{\pi}$, ce qui contredit le choix de $I$. $$\boxed{\text{il existe } I \subset [\![1\,;n]\!] \text{ tel que } \Big|\sum_{k \in I} z_{k}\Big| \geqslant \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n} |z_{k}|}$$ À retenir : ce raisonnement par finitude permet de passer d'une famille de constantes qui s'approchent de $\frac{1}{\pi}$ à la constante $\frac{1}{\pi}$ elle-même. Le chapitre 7 le formalisera par le passage à la limite dans les inégalités.

3. (a) Ici $z_{k} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_{k}}$, et $S = N$. Soit $I$ une partie de somme $\sigma \neq 0$, que l'on écrit $\sigma = |\sigma|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$. Chaque terme vérifie $\operatorname{Re}(z_{k}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}) = \cos(\theta_{k} - \alpha) \leqslant \cos^{+}(\alpha - \theta_{k})$, et la question 1 donne $$|\sigma| = \operatorname{Re}\Big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}\sum_{k \in I} z_{k}\Big) \leqslant \sum_{m=0}^{N-1} \cos^{+}(\alpha - \theta_{m}) \leqslant \boxed{\frac{1}{\sin(\pi/N)}}.$$

(b) Le rapport $\frac{|\sigma|}{S}$ est donc au plus $\frac{1}{N\sin(\pi/N)}$, qui tend vers $\frac{1}{\pi}$. Pour une constante $c > \frac{1}{\pi}$, on choisit $N$ pair assez grand pour que $\frac{1}{N\sin(\pi/N)} < c$ : la famille $\mathbb{U}_{N}$ n'a aucune partie de somme au moins égale à $cS$. $\boxed{\text{la meilleure constante est } \frac{1}{\pi}}$

(c) Les bornes valent $\frac{\cos(\pi/6)}{\sin(\pi/6)} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ et $\frac{1}{\sin(\pi/6)} = 2$. Trois racines consécutives donnent $1 + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3} + \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$, de module $2$, ce qui atteint la borne supérieure : $$\boxed{\max_{I} \Big|\sum_{k \in I} z_{k}\Big| = 2 = \frac{S}{3}} \qquad\text{avec}\qquad \frac{1}{3} > \frac{1}{\pi} \approx 0{,}318.$$ Plus généralement, la plus grande somme partielle de $\mathbb{U}_{N}$ est atteinte par $\frac{N}{2}$ racines consécutives et vaut exactement $\frac{1}{\sin(\pi/N)}$ ; pour $N = 12$, le rapport vaut déjà $0{,}322$. Le facteur $\frac{1}{\pi}$ est la valeur moyenne de $\cos^{+}$ sur une période, que le chapitre 18 écrira $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos t\,\mathrm{d}t$ : la démonstration en est une version discrète.