Exercice 49

1. On a $(\cos y)^{2m} = q^{m}$, avec $q = \cos^{2} y \in [0\,,1]$. Si $y$ est un multiple entier de $\pi$, alors $\cos y = \pm 1$ et $q = 1$ : la suite est constante, égale à $1$. Sinon, $|\cos y| < 1$ (chapitre 4), donc $q \in [0\,,1[$, et $q^{m} \xrightarrow[m \to +\infty]{} 0$ d'après la proposition 9. $$\boxed{\lim\limits_{m \to +\infty} (\cos y)^{2m} = 1 \text{ si } y \in \pi\mathbb{Z}, \qquad 0 \text{ sinon}}$$ 2. On applique la question 1 à $y = 2\pi\,n!\,x$, qui est un multiple entier de $\pi$ si et seulement si $2\,n!\,x$ est un entier. $$\boxed{f_{n}(x) = 1 \text{ si } 2\,n!\,x \in \mathbb{Z}, \qquad f_{n}(x) = 0 \text{ sinon}}$$ 3. Si $x = \frac{p}{q}$, avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^{*}$, alors pour $n \geqslant q$, l'entier $q$ divise $n!$, donc $n!\,x = p \cdot \frac{n!}{q}$ est entier, et $f_{n}(x) = 1$ : la suite $\big(f_{n}(x)\big)$ est stationnaire, de limite $1$. Si $x$ est irrationnel, $2\,n!\,x$ l'est aussi, d'après l'exercice 4, puisque $2\,n!$ est un rationnel non nul : $f_{n}(x) = 0$ pour tout $n$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} f_{n}(x) = 1 \text{ si } x \in \mathbb{Q}, \qquad 0 \text{ si } x \notin \mathbb{Q}}$$ Chaque fonction $x \mapsto \big(\cos(2\pi\,n!\,x)\big)^{2m}$ est une fonction usuelle très régulière, et pourtant la double limite est la fonction de Dirichlet, dont le chapitre 8 montrera qu'elle n'est continue en aucun point.

4. On a $n!\,u_{n} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}$, et chaque quotient $\frac{n!}{k!} = (k + 1)(k + 2)\cdots n$ est un entier. L'exercice 22 donne $u_{n} < \ell < v_{n} = u_{n} + \frac{1}{n \cdot n!}$, et l'on multiplie par $n! > 0$ : $$\boxed{0 < n!\,\ell - n!\,u_{n} < \frac{1}{n}}$$ Notons $\theta_{n} = n!\,\ell - n!\,u_{n}$. Comme $n!\,u_{n}$ est entier et que le cosinus est $2\pi$-périodique, on a l'égalité $\cos(2\pi\,n!\,\ell) = \cos(2\pi\theta_{n})$, et $$0 \leqslant 1 - \cos(2\pi\theta_{n}) = 2\sin^{2}(\pi\theta_{n}) \leqslant 2\pi^{2}\theta_{n}^{2} < \frac{2\pi^{2}}{n^{2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ Par encadrement : $$\boxed{\cos(2\pi\,n!\,\ell) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ Numériquement, $\theta_{10} \approx 0{,}0991$ : la suite $(n!\,\ell)$ s'approche des entiers, mais ne les atteint jamais, puisque $\ell$ est irrationnel.

5. Pour $m$ fixé, $\big(\cos(2\pi\,n!\,\ell)\big)^{2m}$ est le produit de $2m$ suites qui tendent vers $1$ : il tend vers $1$ d'après le théorème 4. La limite intérieure vaut $1$ pour tout $m$, et la limite extérieure aussi. Dans l'autre ordre, $\ell$ est irrationnel, donc $f_{n}(\ell) = 0$ pour tout $n$ d'après la question 2. $$\boxed{\lim\limits_{m \to +\infty}\Big(\lim\limits_{n \to +\infty} \big(\cos(2\pi\,n!\,\ell)\big)^{2m}\Big) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to +\infty}\Big(\lim\limits_{m \to +\infty} \big(\cos(2\pi\,n!\,\ell)\big)^{2m}\Big)}$$

Piège : l'erreur la plus répandue est d'échanger deux passages à la limite sans justification. On a vu à l'exercice 5 que deux bornes supérieures s'échangent toujours ; deux limites, comme une borne supérieure et une borne inférieure, ne s'échangent pas en général.