Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 7

Nombres réels et suites numériques

54 exercices corrigés · 8 23 19 4

Énoncés (PDF)Corrigés (PDF)Le cours

Nombres réels et borne supérieure

Exercice 1 Pour chacune des parties suivantes de ℝ, déterminer, s'ils existent, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand et le plus petit…
Exercice 2 Partie entière. Démontrer les propriétés suivantes, pour tous réels x et y, tout entier relatif m et tout entier n ≥ 1. (a) lfloor x + m rfloor =…
Exercice 3 Soit A et B deux parties non vides et bornées de ℝ, et λ > 0. On note A + B = a + b mid a ∈ A, b ∈ B, λ A = λ a mid a ∈ A et -A = -a mid a ∈ A.…
Exercice 4 1. Soit r un rationnel non nul et x un irrationnel. Montrer que r + x et rx sont irrationnels. 2. La somme et le produit de deux irrationnels…
Exercice 5 Soit X et Y deux ensembles non vides et f: X × Y → ℝ une fonction bornée. 1. Montrer que sup _(x ∈ X) (sup _(y ∈ Y) f(x, y)) = sup _(y ∈ Y) (sup _(x…
Exercice 6 On note G = p + q√2 mid (p, q) ∈ ℤ^2 et u = √2 - 1. 1. Montrer que G est stable par addition et par multiplication, et que u ∈ ]0, 1/2 [. 2. En…
Exercice 7 1. Déterminer, en calculant des carrés, les valeurs décimales approchées par défaut de √2 à la précision 10^(-n) pour 0 ≤ n ≤ 4. 2. Soit x un réel.…

Limites : définitions et calculs

Exercice 8 Étudier la convergence des suites dont les termes généraux sont les suivants, et donner leur limite éventuelle. (a) (n^2 + 3n)/(2n^2 - 1) (b) √(n +…
Exercice 9 Retour à la définition. 1. Montrer, en revenant à la définition, que (3n - 1)/(n + 2) xrightarrow [n → +∞] 3: pour ε > 0, donner explicitement un…
Exercice 10 1. Peut-on déterminer la nature, convergente ou divergente, de la somme de deux suites si l'on connaît la nature de chacune ? On traitera tous les…
Exercice 11 Soit (u_n) et (v_n) deux suites réelles. 1. Montrer que, si u_n xrightarrow [n → +∞] ell, alors |u_n| xrightarrow [n → +∞] |ell |. La réciproque…
Exercice 12 Étudier la convergence des suites suivantes, définies pour n ≥ 1, en encadrant leur terme général; x désigne un réel fixé. (a) u_n = Σ_(k=1)^n…
Exercice 13 1. Soit (u_n) et (v_n) deux suites à valeurs dans [0,1] telles que u_nv_n xrightarrow [n → +∞] 1. Montrer que u_n xrightarrow [n → +∞] 1 et v_n…
Exercice 14 Critère de d'Alembert. Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs, et ell ∈ ℝ_(+) ∪ +∞ tel que (u_(n+1))/(u_n) xrightarrow [n → +∞] ell. 1.…
Exercice 15 1. Montrer qu'une suite d'entiers relatifs est convergente si et seulement si elle est stationnaire. 2. Soit (u_n) une suite qui converge vers un…
Exercice 16 La formule de Viète. Soit x ∈ ]0,π[. On pose, pour n ≥ 1, P_n = Π_(k=1)^n cos x/(2^k). 1. Montrer que P_n · 2^nsin x/(2^n) = sin x. 2. À l'aide de…

Suites monotones et suites adjacentes

Exercice 17 Étudier la monotonie des suites suivantes. (a) u_n = dbinom n{p} pour n ≥ p, avec p ∈ ℕ fixé (b) u_n = Σ_(k=1)^n 1/(k^2) + 1/n (c) u_n = (n!)/(2^n)…
Exercice 18 On pose, pour n ∈ ℕ, S_n = Σ_(k=0)^n 1/(3^k) et T_n = Σ_(k=0)^n k/(3^k). 1. Montrer que (S_n) converge, et préciser sa limite. 2. Montrer que…
Exercice 19 Montrer que les suites (u_n)_(n ≥ 1) et (v_n)_(n ≥ 1) sont adjacentes dans chacun des cas suivants. (a) u_n = Σ_(k=1)^n 1/(n + k) et v_n =…
Exercice 20 Critère des sommes alternées. Soit (a_n) une suite décroissante de limite nulle, et S_n = Σ_(k=0)^n (-1)^ka_k. 1. Montrer que les suites (S_2n) et…
Exercice 21 La constante d'Euler. On pose, pour n ≥ 1, H_n = Σ_(k=1)^n 1/k, u_n = H_n - ln n et v_n = H_n - ln (n + 1). 1. À l'aide de l'inégalité ln t ≤ t - 1…
Exercice 22 Irrationalité de la limite de Σ 1/(k!). Le cours a montré que les suites u_n = Σ_(k=0)^n 1/(k!) et v_n = u_n + 1/(n · n!), pour n ≥ 1, sont…
Exercice 23 Moyennes arithmétique et harmonique. Soit x > 1. On définit u_0 = x, v_0 = 1 et, pour tout n, u_(n+1) = (u_n + v_n)/2 et v_(n+1) = (2u_nv_n)/(u_n +…
Exercice 24 Moyenne arithmético-géométrique. Soit a > b > 0. On définit u_0 = a, v_0 = b et, pour tout n, u_(n+1) = (u_n + v_n)/2 et v_(n+1) = √(u_nv_n). 1.…

Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass

Exercice 25 Montrer que les suites suivantes divergent. (a) u_n = (-1)^n n/(n + 1) (b) u_n = sin nπ/4 + 1/(n + 1) (c) u_n = n^(-1)^n, pour n ≥ 1 (d) une suite…
Exercice 26 Soit (u_n) une suite réelle. 1. On suppose que (u_2n), (u_(2n+1)) et (u_3n) convergent. Montrer que (u_n) converge. 2. On suppose que (u_2n) et…
Exercice 27 Soit (u_n) une suite croissante. 1. On suppose que (u_n) admet une suite extraite majorée. Montrer que (u_n) converge. 2. On suppose que (u_n) admet…
Exercice 28 Soit θ un réel qui n'est pas un multiple entier de π. 1. Exprimer cos ((n + 1)θ) + cos ((n - 1)θ) et cos ((n + 1)θ) en fonction de cos (nθ), sin…
Exercice 29 1. Soit (u_n) une suite telle que, pour tout entier k ≥ 2, la suite extraite (u_kn)_(n ∈ ℕ) converge vers un réel ell _k. En considérant (u_kk'n),…
Exercice 30 Une autre démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass: le lemme des pics. Soit (u_n) une suite réelle. On dit que l'entier n est un pic si u_k…
Exercice 31 1. Montrer qu'une suite non majorée admet une suite extraite qui tend vers +∞. 2. En déduire qu'une suite réelle qui n'admet aucune suite extraite…

Suites particulières

Exercice 32 Exprimer le terme général des suites suivantes en fonction de n; pour les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, on donnera la forme réelle. (a)…
Exercice 33 Pour n ≥ 1, on note u_n le nombre d'entiers naturels qui s'écrivent avec exactement n chiffres en base dix, le premier étant non nul, et dont…
Exercice 34 Suites homographiques. On étudie des suites définies par u_0 = 0 et u_(n+1) = f(u_n). 1. On prend f(x) = (1 + x)/(2 + x). (a) Montrer que [0,1] est…
Exercice 35 1. Montrer que la suite a_n = (3 + √5)^n + (3 - √5)^n vérifie une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients entiers, et en déduire…
Exercice 36 Soit (z_n) une suite complexe telle que z_(n+1) = 3z_n - overline z_n pour tout n. En écrivant z_n = x_n + i y_n, exprimer z_n en fonction de z_0 et…
Exercice 37 Soit z_0 = r e^iθ, avec r > 0 et θ ∈ ]-π,π], et (z_n) la suite définie par z_(n+1) = (z_n + |z_n|)/2. 1. Montrer que, pour tout réel α ∈ ]-π,π],…

Suites récurrentes et suites implicites

Exercice 38 On étudie la suite définie par u_0 ∈ ℝ et u_(n+1) = u_n^2 + 3/16. 1. Déterminer les points fixes de f: x ↦ x^2 + 3/16, et le signe de f(x) - x. 2.…
Exercice 39 Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = 1 + 2/(u_n). 1. Montrer que l'intervalle [1,3] est stable par f: x ↦ 1 + 2/x, et que f y est…
Exercice 40 Étudier les suites définies par les relations suivantes. (a) u_0 = 1 et u_(n+1) = u_n + e^-u_n. (b) u_0 = - 1/2 et u_(n+1) = u_n + u_n^2. Que se…
Exercice 41 Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 1/2 et u_(n+1) = (1 - u_n)^2, et f: x ↦ (1 - x)^2. 1. Montrer que [0,1] est stable par f, et que f y est…
Exercice 42 1. Montrer que, pour tout n ≥ 1, l'équation x^n + x^(n-1) + … + x = 1 a une unique solution x_n dans ℝ_(+), et que 1/2 ≤ x_n ≤ 1. 2. Montrer que la…
Exercice 43 Pour n ≥ 1, on note f_n(x) = x^5 + nx - 1. 1. Montrer que f_n s'annule en un unique réel u_n, et que 0 < u_n < 1/n. 2. Montrer que la suite (u_n)…
Exercice 44 1. Montrer que, pour tout n ≥ 1, l'équation x + ln x = n a une unique solution u_n dans ]0,+∞[. 2. Montrer que (u_n) est croissante, que u_n ≥ 1, et…

Exercices de synthèse

Exercice 45 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Toute partie non vide et majorée de ℚ admet une borne…
Exercice 46 Un théorème de point fixe sans continuité. Soit f: [0,1] → [0,1] une fonction croissante, que l'on ne suppose pas continue, et A = x ∈ [0,1] mid…
Exercice 47 Le théorème de Cesàro. Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite réelle, et c_n = (u_1 + u_2 + … + u_n)/n la moyenne de ses n premiers termes. 1. On suppose que…
Exercice 48 Fractions égyptiennes. On appelle écriture égyptienne d'un rationnel r > 0 une écriture r = 1/(q_1) + 1/(q_2) + … + 1/(q_s), où s ≥ 1 et q_1 < q_2 <…
Exercice 49 Deux limites que l'on ne peut pas échanger. 1. Soit y un réel. Montrer que la suite ((cos y)^2m)_(m ∈ ℕ) converge, vers 1 si y est un multiple…
Exercice 50 Empiler des briques au-dessus du vide. On pose n ≥ 1 briques identiques et homogènes, de longueur 1, les unes sur les autres, une par étage, au bord…
Exercice 51 Suites de Cauchy et complétude de ℝ. Une suite réelle (u_n) est dite de Cauchy si ∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ, ∀ p, q ≥ N, |u_p - u_q| ≤ ε. 1. Montrer qu'une…
Exercice 52 Le lemme de Fekete. Soit (u_n)_(n ≥ 1) une suite de réels positifs, sous-additive, c'est-à-dire telle que u_(n+m) ≤ u_n + u_m pour tous n, m ≥ 1. On…
Exercice 53 Valeurs d'adhérence. On dit qu'un réel a est une valeur d'adhérence de la suite (u_n) si a est la limite d'une suite extraite de (u_n). 1. Montrer…
Exercice 54 Densité de ℤ + αℤ et valeurs de sin n. Soit α un irrationnel, et G = p + qα mid (p, q) ∈ ℤ^2. 1. Soit N ≥ 1. En appliquant le principe des tiroirs…