Exercice 21

1. Avec $t = 1 + x > 0$, l'inégalité $\ln t \leqslant t - 1$ donne $\ln(1 + x) \leqslant x$. Avec $t = \frac{1}{1 + x}$, elle donne $-\ln(1 + x) \leqslant \frac{1}{1 + x} - 1 = -\frac{x}{1 + x}$. $$\boxed{\frac{x}{1 + x} \leqslant \ln(1 + x) \leqslant x}$$ 2. Avec $x = \frac{1}{n}$, la minoration donne $\ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) \geqslant \frac{1}{n + 1}$, et avec $x = \frac{1}{n + 1}$, la majoration donne $\ln\big(1 + \frac{1}{n + 1}\big) \leqslant \frac{1}{n + 1}$. D'où $$u_{n+1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln\Big(1 + \frac{1}{n}\Big) \leqslant 0, \qquad v_{n+1} - v_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln\Big(1 + \frac{1}{n + 1}\Big) \geqslant 0,$$ et $0 \leqslant u_{n} - v_{n} = \ln\big(1 + \frac{1}{n}\big) \leqslant \frac{1}{n}$. $$\boxed{(u_{n}) \text{ et } (v_{n}) \text{ sont adjacentes}}$$ Avec $H_{10} \approx 2{,}928\,97$, on obtient $v_{10} = H_{10} - \ln 11 \approx 0{,}5311$ et $u_{10} = H_{10} - \ln 10 \approx 0{,}6264$. $$\boxed{0{,}531 \leqslant \gamma \leqslant 0{,}627}$$ La valeur exacte est $\gamma \approx 0{,}5772$ ; on ne sait toujours pas si ce nombre est rationnel.

3. Comme $u_{n} \geqslant \gamma$, on a $H_{n} \geqslant \ln n + \gamma \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Et $\frac{H_{n}}{\ln n} = 1 + \frac{u_{n}}{\ln n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$, puisque $(u_{n})$ est bornée. $$\boxed{H_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty \qquad \frac{H_{n}}{\ln n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1}$$ 4. On a $H_{2n} - H_{n} = (u_{2n} + \ln 2n) - (u_{n} + \ln n) = u_{2n} - u_{n} + \ln 2$, et $(u_{2n})$, extraite de $(u_{n})$, tend vers $\gamma$. $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} = H_{2n} - H_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ln 2}$$