Exercice 22

1. La suite $(u_{n})$ croît strictement, puisque l'on ajoute $\frac{1}{(n + 1)!} > 0$, et le calcul du cours donne $v_{n+1} - v_{n} = -\frac{1}{n(n + 1)\,(n + 1)!} < 0$. Pour tout $n \geqslant 1$, le théorème 9 donne alors $u_{n} < u_{n+1} \leqslant \ell \leqslant v_{n+1} < v_{n}$. $$\boxed{u_{n} < \ell < v_{n}}$$ 2. Au rang $n = q$, on multiplie l'encadrement par $q \cdot q!$ : $$q \cdot q!\,u_{q} < p \cdot q! < q \cdot q!\,u_{q} + 1.$$ Or $q!\,u_{q} = \sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!}$ est un entier, de même que $p \cdot q!$ : on aurait un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs. $$\boxed{\ell \notin \mathbb{Q}}$$ 3. On calcule $u_{6} = \frac{1957}{720} \approx 2{,}718\,056$ et $v_{6} = u_{6} + \frac{1}{4320} = \frac{11\,743}{4320} \approx 2{,}718\,287$. $$\boxed{2{,}718\,05 < \ell < 2{,}718\,29 \text{ : trois décimales exactes, } \ell \approx 2{,}718}$$ L'argument repose sur la vitesse de convergence : l'écart $v_{q} - u_{q} = \frac{1}{q \cdot q!}$ est trop petit pour laisser passer une fraction de dénominateur $q$. C'est l'idée de nombreuses preuves d'irrationalité.