Exercice 23

1. Par récurrence, $u_{n}$ et $v_{n}$ sont strictement positifs, ce qui permet de définir les termes suivants, et $$u_{n+1}v_{n+1} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2} \cdot \frac{2u_{n}v_{n}}{u_{n} + v_{n}} = u_{n}v_{n} = \cdots = u_{0}v_{0}.$$

$$\boxed{u_{n}v_{n} = x}$$ 2. En réduisant au même dénominateur : $$u_{n+1} - v_{n+1} = \frac{(u_{n} + v_{n})^{2} - 4u_{n}v_{n}}{2(u_{n} + v_{n})} = \boxed{\frac{(u_{n} - v_{n})^{2}}{2(u_{n} + v_{n})}} \geqslant 0.$$ Donc $u_{n} \geqslant v_{n}$ pour tout $n$, ce qui est aussi vrai au rang $0$ puisque $x > 1$. Ainsi $u_{n+1} - u_{n} = \frac{v_{n} - u_{n}}{2} \leqslant 0$, et $v_{n} = \frac{x}{u_{n}}$ croît. Enfin, comme $u_{n} - v_{n} \leqslant u_{n} + v_{n}$, on a $u_{n+1} - v_{n+1} \leqslant \frac{1}{2}(u_{n} - v_{n})$, d'où $$0 \leqslant u_{n} - v_{n} \leqslant \frac{x - 1}{2^{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ Les suites sont adjacentes ; leur limite $\ell > 0$ vérifie $\ell^{2} = \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}v_{n} = x$. $$\boxed{u_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{x}, \quad v_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{x}}$$ 3. Comme $u_{n} + v_{n} \geqslant 2\sqrt{u_{n}v_{n}} = 2\sqrt{x} > 2$, la question 2 donne $0 \leqslant u_{n+1} - v_{n+1} \leqslant \frac{1}{4}(u_{n} - v_{n})^{2}$. Pour $x = 2$, on part de $u_{0} - v_{0} = 1$ : $$u_{1} - v_{1} \leqslant \frac{1}{4}, \quad u_{2} - v_{2} \leqslant \frac{1}{4^{3}}, \quad u_{3} - v_{3} \leqslant \frac{1}{4^{7}}, \quad u_{4} - v_{4} \leqslant \frac{1}{4^{15}} \approx 9{,}3 \times 10^{-10}.$$

$$\boxed{0 \leqslant u_{4} - \sqrt{2} \leqslant 10^{-9}}$$ L'erreur est élevée au carré à chaque étape : le nombre de décimales exactes double environ à chaque itération. On parle de convergence quadratique. En réalité, $u_{4} - \sqrt{2} \approx 1{,}6 \times 10^{-12}$.

4. Pour $x = 2$, on a $v_{n} = \frac{2}{u_{n}}$, d'où $\boxed{u_{n+1} = \frac{1}{2}\Big(u_{n} + \frac{2}{u_{n}}\Big)}$. On retrouve la méthode attribuée à Héron d'Alexandrie : on remplace une approximation $u$ de $\sqrt{2}$ par la moyenne de $u$ et de $\frac{2}{u}$, qui l'encadrent.